Règle du marquis de l'Hospital

La règle de l'Hospital, publiée par le mathématicien français Guillaume François Antoine de l'Hospital dans son livre l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes en 1696, permet de calculer certaines limites à partir de deux fonctions dérivables $f,g$ et un réel $x_0$ . Bien que portant son nom, cette règle est en réalité due à Jean Bernoulli (1667-1748).

Si $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ admet une limite $\ell$ (finie ou infinie) lorsque $x\to x_0$ alors $\frac{f(x)}{g(x)}$ tend aussi vers $\ell$ , lorsque $x\to x_0$

Autrement dit, si le quotient des dérivées tend vers $\ell$ (finie ou infinie) alors le quotient des fonctions tend aussi vers $\ell$

Les hypothèses suivantes doivent obligatoirement être rencontrées :

les deux fonctions $f$ et $g$ s'annulent en $x_0$ (donc le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ est une forme indéterminée)
et en dehors de $x_0$ , la dérivée de $g$ ne s'annule pas.

Cette règle s'applique également lorsque $x_0$ tend vers l'infini ou encore, lorsqu'on obtient un cas d'indétermination du type $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$

Remarque : on ne prononce pas le “s” du nom Hospital

La règle de l'Hospital est utilisée pour lever des formes d'indétermination comme par exemple $0 \cdot \infty$ ou $0^0$ . Pour lever la on réécrit $0 \cdot \frac{1}{0} = \frac{0}{0}$ .

Pour lever la deuxième, on remplace $0^0$ par $\mathrm{e}^{0 \cdot \ln(0)}$ (voir rhéto math 6h).

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \left[\frac{0}{0}\right] \overset{\textbf{H}}{=} \lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$

La fonction $x \mapsto \frac{\sin x}{x}$ possède une discontinuité réductible en $x = 0$ . L'adjectif réductible est employé pour signifier que la fonction peut être prolongée continument; la discontinuité est alors supprimée ou encore réduite.

code source de l'image

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\usepackage{fourier,amsmath,tkz-base}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2,x=2mm]
\draw[->,>=latex, black] (-4*pi,0)--(4*pi,0) node[below,black] {\small $x$};
\draw[->,>=latex, black] (0,-0.5)--(0,1.5) node[right,black] {\small $y$};  
\draw[teal!50!black, ultra thick, domain=-4*pi:-.01, samples=100, variable=\x] plot ({\x}, {sin (\x r)/\x});
\draw[teal!50!black, ultra thick, domain=0.01:4*pi, samples=100, variable=\x] plot ({\x}, {sin (\x r)/\x});
\fill[teal!50!black] (0,1) circle (2pt);
\fill[white] (0,1) circle (1.3pt);
\node[teal!50!black] at (6,1) {\scriptsize \(f(x)=\frac{\sin x}{x}\)};
\end{tikzpicture}\qquad 
\begin{tikzpicture}[scale=1.2,x=2mm]
\draw[->,>=latex, black] (-4*pi,0)--(4*pi,0) node[below,black] {\small $x$};
\draw[->,>=latex, black] (0,-0.5)--(0,1.5) node[right,black] {\small $y$};  
\draw[teal!50!black, ultra thick, domain=-4*pi:-.01, samples=100, variable=\x] plot ({\x}, {sin (\x r)/\x});
\draw[teal!50!black, ultra thick, domain=0.01:4*pi, samples=100, variable=\x] plot ({\x}, {sin (\x r)/\x});
\node[teal!50!black] at (8,1) {\scriptsize \(g(x)=\begin{cases} \frac{\sin x}{x} & \text{ si } x\neq 0 \\ 1 & \text{ si } x=0 \end{cases}\)};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Remarque : on parle de discontinuité par saut fini lorsque les limites à gauche et à droites sont finies et différentes.

Exemple : la fonction $x\mapsto \frac{\sin x}{|x|}$ possède une discontinuité par saut fini en $x = 0$

$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$ et $\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{-x} = -1$

Considérons la fonction $f$ définie par $\displaystyle f(x) = \frac{\sin x}{1 - \cos x}$ . Cette fonction n'est pas définie en $x = 0$ , ce qui rend intéressant le calcul de sa limite en ce point.

$\displaystyle\lim\limits_{x \to 0^{\pm}} \frac{\sin x}{1 - \cos x} = \left[\frac{0}{0}\right] \overset{\textbf{H}}{=} \lim\limits_{x \to 0^{\pm}} \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{0^{\pm}} = \pm\infty$

Nous dirons que $f(x) = \displaystyle\frac{\sin x}{1 - \cos x}$ possède une discontinuité infinie en $x = 0$ .

On considère la limite $\displaystyle\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x - 1}{x \sin x}$

Cette limite est une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ . En appliquant la règle de l'Hospital, la limite devient : $\displaystyle\lim\limits_{x \to 0} \frac{-\sin x}{\sin x + x \cos x}$ .

On obtient encore une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ . On applique une *deuxième* fois la règle de l'Hospital : $\displaystyle\lim\limits_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2 \cos x - x \sin x} = - \frac{1}{2}$

La valeur de la limite de départ est donc $- \frac{1}{2}$ .

On peut aussi appliquer la règle de l'Hospital lorsque les formes indéterminées sont du type $0 \cdot \infty$ ou $\infty - \infty$ . Il suffit de réécrire l'expression sous une forme différente (mettre l'expression au même dénominateur).

$\begin{align*} \lim\limits_{x \to 0} \left( \cot x - \frac{1}{x} \right) &= \left[\infty - \infty\right] \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \frac{x \cos x - \sin x}{x \sin x} \\ &= \left[ \frac{0}{0}\right] \\ &\overset{\textbf{H}}{=} \lim\limits_{x \to 0} \frac{- x \sin x } {\sin x + x \cos x} \\ &\overset{\textbf{H}}{=} \lim\limits_{x \to 0} \frac{- x \cos x - \sin x } {2 \cos x - x \sin x } = 0 \end{align*}$

Règle du marquis de l'Hospital

Exemples