domaine d'existence : $\text{dom} \ f = \mathbb{R}$

On doit calculer la dérivée à gauche puis à droite de $f$ en $0$ via la définition du nombre dérivé en terme de limite. Notre fonction étant paire, il suffit de calculer $f'_D(0)$ puis de conclure.

\begin{align} f'_D(0) &= \lim\limits_{h\to 0^+} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\\ &= \lim\limits_{h\to 0^+} \dfrac{\sqrt{h^4+h^2}}{h}\\ &= \lim\limits_{h\to 0^+} \dfrac{|h|\sqrt{h^2+1}}{h}\\ &= \lim\limits_{h\to 0^+} \sqrt{h^2+1} = 1 \end{align}

$f'_G(0) = -1$ car $f$ est paire.

La fonction n'est donc pas dérivable en $0$ et son graphe admet un point anguleux en $x=0$ (les deux demi-tangentes sont perpendiculaires).

en construction

$f(1) = \left(1 + 0,5\right)^2 = 2,25$

$\lim\limits_{x\to 1^+} \left(\lfloor x \rfloor + 0,5\right)^2 = \left(1 + 0,5\right)^2 = 2,25$

$\lim\limits_{x\to 1^-} \left(\lfloor x \rfloor + 0,5\right)^2 = \left(0 + 0,5\right)^2 = 0,25$

Cette fonction n'est pas continue en $1$ car $\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) \neq \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$

REPONSE

l'équation $f(x)=\sqrt{x}$ ne possède qu'une seule solution sur $I$.