Exercices variés sur l'analyse

Exercices variés sur l'analyse en 5eme et 6eme math 6h

Exercice 1 : La fonction $f(x)=\sqrt{x^4+x^2}$ est-elle dérivable en $0$ ? Justifier. Quelle est la nature du point $(0;0)\in G_f$ ?

Solution

domaine d'existence : $\text{dom} \ f = \mathbb{R}$

On doit calculer la dérivée à gauche puis à droite de $f$ en $0$ via la définition du nombre dérivé en terme de limite. Notre fonction étant paire, il suffit de calculer $f'_D(0)$ puis de conclure.

\begin{align} f'_D(0) &= \lim\limits_{h\to 0^+} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\\ &= \lim\limits_{h\to 0^+} \dfrac{\sqrt{h^4+h^2}}{h}\\ &= \lim\limits_{h\to 0^+} \dfrac{|h|\sqrt{h^2+1}}{h}\\ &= \lim\limits_{h\to 0^+} \sqrt{h^2+1} = 1 \end{align}

$f'_G(0) = -1$ car $f$ est paire.

La fonction n'est donc pas dérivable en $0$ et son graphe admet un point anguleux en $x=0$ (les deux demi-tangentes sont perpendiculaires).

Exercice 2 : Même question pour $f : x \mapsto \dfrac{1-|1-x|}{|x+3|} \quad \text{ en } \quad x=1$.

Quelle est la nature du point $(1;f(1))$ ?

Solution

en construction

Exercice 3 : La fonction $f : x \mapsto \left(\lfloor x \rfloor + 0,5\right)^2$ est-elle continue en $1$ ? Justifie.

Solution

$f(1) = \left(1 + 0,5\right)^2 = 2,25$

$\lim\limits_{x\to 1^+} \left(\lfloor x \rfloor + 0,5\right)^2 = \left(1 + 0,5\right)^2 = 2,25$

$\lim\limits_{x\to 1^-} \left(\lfloor x \rfloor + 0,5\right)^2 = \left(0 + 0,5\right)^2 = 0,25$

Cette fonction n'est pas continue en $1$ car $\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) \neq \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$

Exercice 4 : Soit $f(x) = \begin{cases} \dfrac{1+x}{x^3+1} & \text{si} \ x\in\mathbb{R} \setminus \{-1\} \\ k\in\mathbb{R} & \text{si} \ x=-1 \end{cases}$

Trouve $k$ pour que $f$ soit continue sur $\mathbb{R}$.

Solution

REPONSE

Exercice 5 :

Représenter le plus précisément possible le graphique de la fonction $f(x) = 1 + |\sin x|$ sur l'intervalle $I=\left[0;2\pi\right]$
Combien de solution l'équation $f(x)=\sqrt{x}$ possède-t-elle sur $I$ ? (On ne demande pas de les calculer)

Solution

l'équation $f(x)=\sqrt{x}$ ne possède qu'une seule solution sur $I$.

Exercices variés sur l'analyse

Dérivabilité

Continuité

Graphes des fonctions usuelles