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Exercices variés sur l'analyse

Exercices variés sur l'analyse en 5eme et 6eme math 6h

Dérivabilité

Exercice 1 : La fonction f(x)=√x4+x2 est-elle dérivable en 0 ? Justifier. Quelle est la nature du point (0;0)∈Gf ?


Solution

Solution

domaine d'existence : dom f=R

On doit calculer la dérivée à gauche puis à droite de f en 0 via la définition du nombre dérivé en terme de limite. Notre fonction étant paire, il suffit de calculer f′D(0) puis de conclure.

f′D(0)=limh→0+f(0+h)−f(0)h=limh→0+√h4+h2h=limh→0+|h|√h2+1h=limh→0+√h2+1=1

f′G(0)=−1 car f est paire.

La fonction n'est donc pas dérivable en 0 et son graphe admet un point anguleux en x=0 (les deux demi-tangentes sont perpendiculaires).

Exercice 2 : Même question pour f:x↦1−|1−x||x+3| en x=1.

Quelle est la nature du point (1;f(1)) ?


Solution

Solution

en construction

Continuité

Exercice 3 : La fonction f:x↦(⌊x⌋+0,5)2 est-elle continue en 1 ? Justifie.


Solution

Solution

f(1)=(1+0,5)2=2,25

limx→1+(⌊x⌋+0,5)2=(1+0,5)2=2,25

limx→1−(⌊x⌋+0,5)2=(0+0,5)2=0,25

Cette fonction n'est pas continue en 1 car limx→1−f(x)≠limx→1+f(x)

Exercice 4 : Soit f(x)={1+xx3+1si x∈R∖{−1}k∈Rsi x=−1

Trouve k pour que f soit continue sur R.


Solution

Solution

REPONSE

Graphes des fonctions usuelles

Exercice 5 :

  1. Représenter le plus précisément possible le graphique de la fonction f(x)=1+|sinx| sur l'intervalle I=[0;2π]
  2. Combien de solution l'équation f(x)=√x possède-t-elle sur I ? (On ne demande pas de les calculer)

Solution

Solution

l'équation f(x)=√x ne possède qu'une seule solution sur I.

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  • Dernière modification : 2025/03/13 21:35
  • de Frédéric Lancereau