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Relation fonctionnelle - Fonction numérique
On discute ici des concepts fondamentaux relatifs aux fonctions mathématiques. Une fonction \( f: E \subset \mathbb{R} \to F \subset \mathbb{R} \) est une relation définissant une correspondance entre les éléments d'un espace de départ \( E \) à un espace d'arrivée \( F \), tous deux sous-ensembles des nombres réels. Chaque élément \( x \) dans \( E \) est lié à au plus un élément \( y \) dans \( F \) par cette fonction.
Dans ce contexte, \( y \) est connu comme l'image de \( x \) par la fonction \( f \), et inversement, \( x \) est l'antécédent de \( y \) par la fonction \( f \).
Une fonction numérique d'une variable réelle est une relation qui à chaque réel fait correspondre au plus un réel \[ \begin{array}{cccc} f: & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & f(x) \end{array} \]
Lorsqu'on écrit \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ~;~ x \mapsto f(x) \) ou plus simplement \( f \), on considère la fonction \( f \) toute entière avec son domaine, son ensemble image, ses variations, etc.; elle ne peut se lire sur un axe comme un simple nombre.
Vocabulaire
Si $f$ est une fonction numérique alors :
- L'ensemble des réels qui ont une image par $f$ s'appelle «l'ensemble de définition» de $f$. On le note $\text{dom } f$ ;
- Tout réel $x$ de $\text{dom } f$ a une image et une seule par la fonction $f$.
- Si $y$ est l'image de $x$, on dit que $x$ est un antécédent de $y$ par $f$ (remarquez l'article défini pour l'image et indéfini dans un antécédent)
- Un réel $y$ peut n'admettre aucun antécédent, ou un seul antécédent, ou plusieurs antécédents
- L'ensemble de définition peut également être donné par l'énoncé : «Soit la fonction $f$, définie pour tout $x>0$ par $\ldots$».
Il peut exister des contraintes dans l'énoncé qui font que $x$ prend des valeurs particulières.
Soit $f$ une fonction numérique, et $\text{dom } f$ son ensemble de définition. Dans le plan rapporté au repère cartésien, on appelle représentation graphique ou courbe représentative de la fonction $f$, l'ensemble $G_f$ des points $M$ de coordonnées $(x,f(x))$, où $x$ appartient à $\text{dom } f$.
Cette courbe, notée $G_f$ pour graphe de la fonction, a pour équation (On l'appelle équation cartésienne) $y=f(x)$.
- $f$ le nom de la fonction numérique et $f(x)$ son expression analytique.
- $G_f$ le graphe de la fonction ou sa courbe représentative;
- $\text{dom } f$ son ensemble de définition;
- $\text{Im } f$ l'ensemble de ses images.
Carte Fonctions Niveau 6
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