Injections, surjections, bijections
Une fonction f : E→F est dite injective, et appelée une injection, si ∀x,y∈E, (x≠y⟹f(x)≠f(y)). Signification : deux éléments distincts de son ensemble de départ E ne peuvent pas avoir la même image par f
Autrement dit, une fonction f est injective si tout élément de son ensemble d'arrivée a au plus un antécédent par f (0 ou 1 antécédent) .
Note : défintion équivalente → ∀x,y∈E, (f(x)=f(y)⟹x=y)
- Une fonction f : E→F est dite surjective sur F, et appelée une surjection de E sur F, si
∀y∈F, ∃x∈E tel que f(x)=y.
- Une fonction f : E→F est dite bijective entre E et F, et appelée une bijection de E sur F, si elle est à la fois injective et surjective sur F, c'est-à-dire, si tout élément de F possède un unique antécédent par rapport à la fonction f.
Caractérisation de l'injectivité d'une fonction continue sur un intervalle
Soit f une fonction continue sur un intervalle.
- Si f est strictement monotone, alors elle est injective
- Si f est injective, alors elle est strictement monotone
- Une fonction strictement monotone est toujours injective, que ce soit une fonction continue ou non.
- En revanche, pour prouver la deuxième partie de la proposition, il est crucial que f soit continue sur un intervalle. Sans cette condition, on peut trouver des fonctions qui sont injectives mais non monotones.
Note : dire que la fonction f est monotone sur un intervalle I signifie que la fonction f est soit croissante sur I soit décroissante sur I.
Démonstration de la partie (1) de la proposition : f strictement monotone ⟹ f injective
- soit x1<x2 donc f(x1)<f(x2),
- soit x2<x1 donc f(x2)<f(x1),
dans les deux cas f(x1) et f(x2) sont distincts, ce qui est la définition de “f est injective”.
Démonstration de la partie (2) de la proposition : f continue et injective ⟹ f strictement monotone est plus complexe à établir.
- Première étape : Soient x1 et x2 deux éléments de I vérifiant x1<x2 (rappel : I n'est ni vide ni réduit à un point).
- Comme f est injective et R totalement ordonné, on a soit f(x1)<f(x2), soit f(x2)<f(x1).
- Si f(x1)<f(x2), on montre que ∀x∈I,(x1<x<x2)⟹(f(x1)<f(x)<f(x2)).
- Si f(x2)<f(x1), on montre que ∀x∈I,(x1<x<x2)⟹(f(x2)<f(x)<f(x1)), par un raisonnement identique au précédent, en intervertissant les rôles joués par f(x1) et f(x2)
- Deuxième étape : On montre que quels que soient les éléments a et b de I vérifiant a<b, la fonction f est strictement monotone sur [a,b].
- Troisième étape : On montre que la fonction f est strictement monotone sur I.
Remarque : L'hypothèse de la continuité de f n'intervient pas dans la démonstration de “f strictement monotone ⟹ f est injective”
Une fonction strictement monotone est toujours injective, qu'elle soit continue ou non ; par contre il est essentiel de supposer que f est continue sur un intervalle pour démontrer la deuxième partie de la proposition : si on enlève la contrainte de la continuité de la fonction, on peut trouver des fonctions injectives et non monotones.
