Continuité des fonctions
La continuité d'une fonction est un des critères permettant d'étudier la régularité de sa courbe. On dit qu'une fonction f est continue sur un intervalle I⊂R lorsque f est définie sur I et que sa courbe sur I peut se tracer “sans lever le crayon” .
Définitions
Soit f une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans R et a∈I.
Continuité en un réel : On dit qu'une fonction f est continue en a si les trois conditions suivantes sont vérifiées:
- f est définie en a.
- f(x) admet une limite quand x tend vers a (limite à gauche et à droite identique).
- limx→af(x)=f(a)
Si l'une quelconque de ces trois conditions n'est pas vérifiée, on dit que f n'est pas continue en a, ou qu'elle présente une discontinuité en a.
Continuité sur un intervalle :
- On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de l'intervalle.
- Aux extrémités de l'intervalle, il faut comprendre continue par continue à droite ou continue à gauche.
- Une fonction est continue à gauche (resp. continue à droite) en a si et seulement si limx→a−f(x)=f(a)(resp.limx→a+f(x)=f(a)).
Domaine de continuité :
- Le domaine de continuité de f, noté domc f, est l'ensemble des réels en lesquels f est continue.
- f est partout continue ⟺ domcf=domf
Exemples de fonctions continues
Presque toutes les fonctions vues au troisième degré sont continues sur tout intervalle contenu dans leur domaine de définition :
- les fonctions polynômes sont continues sur R;
- les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur domaine de définition;
- la fonction exponentielle est continue sur R;
- la fonction logarithme népérien est continue sur ]0,+∞[;
- les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R;
- la fonction valeur absolue est continue sur R
- toutes les fonctions obtenues par opérations (somme, produit, quotient quand le dénominateur ne s'annule pas) ou composition à partir de ces fonctions de référence sont aussi continues sur leur domaine de définition.
La fonction partie entière fournit un exemple de fonction définie sur R et discontinue en certains réels (et donc non continue sur R).