analyse:fonctions:continuite

Continuité des fonctions

La continuité d'une fonction est un des critères permettant d'étudier la régularité de sa courbe. On dit qu'une fonction f est continue sur un intervalle IR lorsque f est définie sur I et que sa courbe sur I peut se tracer “sans lever le crayon” .

Définitions

Soit f une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans R et aI.

Continuité en un réel : On dit qu'une fonction f est continue en a si les trois conditions suivantes sont vérifiées:

  • f est définie en a.
  • f(x) admet une limite quand x tend vers a (limite à gauche et à droite identique).
  • limxaf(x)=f(a)

Si l'une quelconque de ces trois conditions n'est pas vérifiée, on dit que f n'est pas continue en a, ou qu'elle présente une discontinuité en a.

Continuité sur un intervalle :

  • On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de l'intervalle.
  • Aux extrémités de l'intervalle, il faut comprendre continue par continue à droite ou continue à gauche.
  • Une fonction est continue à gauche (resp. continue à droite) en a si et seulement si limxaf(x)=f(a)(resp.limxa+f(x)=f(a)).

Domaine de continuité :

  • Le domaine de continuité de f, noté domc f, est l'ensemble des réels en lesquels f est continue.
  • f est partout continue domcf=domf

Presque toutes les fonctions vues au troisième degré sont continues sur tout intervalle contenu dans leur domaine de définition :

  • les fonctions polynômes sont continues sur R;
  • les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur domaine de définition;
  • la fonction exponentielle est continue sur R;
  • la fonction logarithme népérien est continue sur ]0,+[;
  • les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R;
  • la fonction valeur absolue est continue sur R
  • toutes les fonctions obtenues par opérations (somme, produit, quotient quand le dénominateur ne s'annule pas) ou composition à partir de ces fonctions de référence sont aussi continues sur leur domaine de définition.

La fonction partie entière fournit un exemple de fonction définie sur R et discontinue en certains réels (et donc non continue sur R).

  • analyse/fonctions/continuite.txt
  • Dernière modification : 2025/03/13 18:37
  • de Frédéric Lancereau