Continuité des fonctions

Définitions

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ et $a\in I$.

Continuité en un réel : On dit qu'une fonction $f$ est continue en $a$ si les trois conditions suivantes sont vérifiées:

• $f$ est définie en $a$.
• $f(x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$ (limite à gauche et à droite identique).
• $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$

Si l'une quelconque de ces trois conditions n'est pas vérifiée, on dit que $f$ n'est pas continue en $a$, ou qu'elle présente une discontinuité en $a$.

Continuité sur un intervalle :

• On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de l'intervalle.
• Aux extrémités de l'intervalle, il faut comprendre continue par continue à droite ou continue à gauche.
• Une fonction est continue à gauche (resp. continue à droite) en $a$ si et seulement si $\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = f(a) \; \displaystyle \Big(\textrm{resp.} \; \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = f(a)\Big)$.

Domaine de continuité :

• Le domaine de continuité de $f$, noté $\textrm{dom}_c~f$, est l'ensemble des réels en lesquels $f$ est continue.
• $f$ est partout continue $\iff$ $\textrm{dom}_c \: f = \textrm{dom} \: f$