Continuité des fonctions
La continuité d'une fonction est un des critères permettant d'étudier la régularité de sa courbe. On dit qu'une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I\subset \mathbb R$ lorsque $f$ est définie sur $I$ et que sa courbe sur $I$ peut se tracer “sans lever le crayon” .
Définitions
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ et $a\in I$.
Continuité en un réel : On dit qu'une fonction $f$ est continue en $a$ si les trois conditions suivantes sont vérifiées:
- $f$ est définie en $a$.
- $f(x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$ (limite à gauche et à droite identique).
- $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$
Si l'une quelconque de ces trois conditions n'est pas vérifiée, on dit que $f$ n'est pas continue en $a$, ou qu'elle présente une discontinuité en $a$.
Continuité sur un intervalle :
- On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de l'intervalle.
- Aux extrémités de l'intervalle, il faut comprendre continue par continue à droite ou continue à gauche.
- Une fonction est continue à gauche (resp. continue à droite) en $a$ si et seulement si $\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = f(a) \; \displaystyle \Big(\textrm{resp.} \; \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = f(a)\Big)$.
Domaine de continuité :
- Le domaine de continuité de $f$, noté $\textrm{dom}_c~f$, est l'ensemble des réels en lesquels $f$ est continue.
- $f$ est partout continue $\iff$ $\textrm{dom}_c \: f = \textrm{dom} \: f$
Exemples de fonctions continues
Presque toutes les fonctions vues au troisième degré sont continues sur tout intervalle contenu dans leur domaine de définition :
- les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$;
- les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur domaine de définition;
- la fonction exponentielle est continue sur $\mathbb{R}$;
- la fonction logarithme népérien est continue sur $] 0,+\infty[;$
- les fonctions sinus et cosinus sont continues sur $\mathbb{R}$;
- la fonction valeur absolue est continue sur $\mathbb{R}$
- toutes les fonctions obtenues par opérations (somme, produit, quotient quand le dénominateur ne s'annule pas) ou composition à partir de ces fonctions de référence sont aussi continues sur leur domaine de définition.
La fonction partie entière fournit un exemple de fonction définie sur $\mathbb{R}$ et discontinue en certains réels (et donc non continue sur $\mathbb{R})$.