Table des matières
Introduction aux Fonctions Cyclométriques
Les fonctions cyclométriques, notées $\arcsin$, $\arccos$ et $\arctan$, sont les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques correspondantes : sinus, cosinus et tangente.
Définition
Rappel : Pour une fonction $f : A \to B$ qui est bijective, il existe une fonction réciproque $f^{-1} : B \to A$ telle que $f(f^{-1}(y)) = y$ pour tout $y \in B$ et $f^{-1}(f(x)) = x$ pour tout $x \in A$.
- La fonction sinus définit une bijection S de \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) dans \([-1,1]\)
- La fonction cosinus définit une bijection C de \(\left[0,\pi\right]\) dans \([-1,1]\)
- La fonction tangente définit une bijection T de \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\) dans \(\mathbb{R}\)
Les fonctions cyclométriques sont définies comme suit :
- $\forall x\in\left[ -1,1\right] ,\,\arcsin(x) = y \iff \sin(y) = x$ avec $y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
- $\forall x\in\left[ -1,1\right] ,\,\arccos(x) = y \iff \cos(y) = x$ avec $y \in \left[0, \pi\right]$
- $\forall x\in\mathbb{R} ,\,\arctan(x) = y \iff \tan(y) = x$ avec $y \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$
Autrement dit,
- Le réel \( \arcsin x \) est donc le nombre appartenant à \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) dont le sinus est \( x \).
- Le réel \( \arccos x \) est donc le nombre appartenant à [0,\( \pi \)] dont le cosinus est x.
- Le réel \( \arctan x \) est donc le nombre appartenant à \( \left] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[ \) dont la tangente est x.
- On a : \(\forall x\in\left[ -1,1\right] ,\,\sin\left( \arcsin x\right) =x\)
- mais on n'a pas toujours \( \arcsin\left( \sin y\right) =y \). Ce n'est vrai que si \( y\in\left[ -\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] \).
- exemple: \( \arcsin\left( \sin\pi\right) =0 \).
- On a : \(\forall x\in [-1,1], \cos(\arccos x) =x\)
- mais on n'a pas toujours \( \arccos(\cos y) =y \). Ce n'est vrai que si \( y\in [0,\pi] \).
- exemple:\(\arccos(\cos 2\pi) =0.\)
- On a : \(\forall x\in\mathbb{R}, \tan(\arctan x) =x \)
- mais on n'a pas toujours \( \arctan(\tan y) =y \). Ce n'est vrai que si \( y\in \left] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[ \).
- exemple: \(\arctan(\tan 2\pi) =0.\)
Représentations graphiques
Propriétés des Fonctions Cyclométriques
Parité : les fonctions arc sinus et arc tangente sont impaires sur leurs domaines de définition respectifs.
Continuité : les fonctions cyclométriques sont continues sur leurs domaines respectifs.
Bijectivité : les fonctions cyclométriques sont bijectives sur leurs domaines spécifiques. Cela signifie qu'elles établissent une correspondance univoque entre les éléments de l'intervalle de départ et ceux de l'intervalle d'arrivée :
- $\arcsin(x)$ est bijective sur $[-1, 1]$ et a pour ensemble image $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.
- $\arccos(x)$ est bijective sur $[-1, 1]$ et a pour ensemble image $\left[0, \pi\right]$.
- $\arctan(x)$ est bijective sur $\mathbb{R}$ et a pour ensemble image $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.
Dérivabilité : voir ici pour quelques exemples de dérivées de fonctions cyclométriques
- \( \arcsin \) est dérivable sur \( ]-1, 1[ \) : \(\left( \arcsin x \right)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) et \(\left( \arcsin (u(x)) \right)' = \frac{u'(x)}{\sqrt{1 - u^2(x)}} \)
- \( \arccos \) est dérivable sur \( ]-1, 1[ \) : \( \left( \arccos x \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) et \(\left( \arccos (u(x)) \right)' = -\frac{u'(x)}{\sqrt{1 - u^2(x)}} \)
- \( \arctan \) est dérivable sur \( \mathbb{R} \) : \(\left( \arctan x \right)' = \frac{1}{1 + x^2} \) et \( \left( \arctan (u(x)) \right)' = \frac{u'(x)}{1 + u^2(x)} \)
- rappels : autres formules de dérivation $(u\pm v)' = u'\pm v'$; $(u \cdot v)'=u' \cdot v+u \cdot v'$; $\left( \frac{u}{v} \right)'= \frac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^2}$ et $(u\circ v)' = (u' \circ v) \cdot v'$
Limites : le graphe de la fonctions arc tangente possède deux asymtptotes horizontales \[\bbox[#ead1dc,5px] { \lim\limits_{{x \to -\infty}} \arctan x = -\tfrac{\pi}{2} \text{ et } \lim\limits_{{x \to \infty}} \arctan x = \tfrac{\pi}{2}}\]
Sens de variation :
- Les fonctions arc sinus et arc tangente sont strictement croissantes sur leurs domaines de définition respectifs.
- La fonction arc cosinus est strictement décroissante sur son domaine de définition.
Remarques : en tenant compte du fait que les fonctions sinus et cosinus sont \(2\pi\)-périodiques et respectivement impaire et paire et du fait que la fonction tangente est \( \pi \)-périodique, il vient :
- \( x=\sin \theta \iff \theta= \arcsin x + 2k\pi \) ou \( \theta=\pi-\arcsin x + 2k\pi \)
- \( x=\cos \theta \iff \theta= \pm \arccos x + 2k\pi \)
- \( x=\tan \theta \iff \theta= \arctan x + k\pi \) (avec \( k\in\mathbb{Z} \))
Domaine de définition
Exploration des Domaines d'Existence des Fonctions Cyclométriques :
- domaines : $\mathrm{dom}\left ( \arcsin\right ) = \mathrm{dom}\left ( \arccos\right ) = \left[-1, 1\right] $ et $\mathrm{dom}\left ( \arctan\right ) = \mathbb{R}$
- racines : \(\arcsin x = 0 \iff x=0\), \(\arccos x = 0 \iff x=1\) et \(\arctan x = 0 \iff x=0\)
Exemple :
A) Pour rechercher le domaine de définition de $f : x \mapsto \arccos\left(1-x^2\right)$, il suffit de poser la condition d'existence suivante \[-1\leq 1-x^2\leq 1\] Cette double inéquation se décompose en deux inéquations simples, formant le système suivant : \[\begin{cases} 1 - x^2 \geq -1 \\ 1 - x^2 \leq 1 \end{cases}\]
Pour résoudre ce système, nous examinons chaque inéquation individuellement.
- \(1 - x^2 \geq -1 \iff 2 - x^2 \geq 0 \stackrel{TS}{\iff} x\in \left[ -\sqrt{2}\, ; \sqrt{2} \right]\) (TS = Tableau de signes)
- \(1 - x^2 \leq 1 \iff -x^2\leq 0 \iff x^2\geq 0 \iff x\in\mathbb{R}\)
Ces deux conditions doivent être rencontrées en même temps : \(x\in \left[ -\sqrt{2}\, ; \sqrt{2} \right] \cap \mathbb{R}\)
Finalement, \(\mathrm{dom} f = \left[ -\sqrt{2}\, ; \sqrt{2} \right]\)
B) Pour rechercher les racines éventuelles de $f$ : \[\arccos\left(1-x^2\right)=0 \stackrel{\scriptsize{\text{rappels}}}{\iff} 1-x^2=1 \iff x^2=0 \iff x=0\]
Formulaire
Parité
- $\arcsin$ est impaire~: $\forall x\in [-1,1],\, \arcsin (-x)=-\arcsin (x)$
- $\arccos$ n'est ni paire, ni impaire, c'est une fonction quelconque.
- $\arctan$ est impaire~: $\forall x\in \mathbb R,\, \arctan (-x)=-\arctan (x)$
Arcs complémentaires
- $\forall x\in [-1,1],\, \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}2$
- $\forall x\in \mathbb R_0,\, \arctan x+\arctan \frac1x=\begin{cases} +\frac{\pi}2 \text{ si } x>0\\ -\frac{\pi}2\text{ si }x<0 \end{cases} $
Arcs doubles
- $\forall x\in [-1,1],\, \sin 2\arcsin x=\sin 2\arccos x= 2x\sqrt{1-x^2}$
- $\forall x\in [-1,1],\, \cos 2\arcsin x=-\cos 2\arccos x= 1-2x^2$
- $\forall x\in\mathbb R\setminus\{\pm 1\},\, \tan 2\arctan x=\frac{2x}{1-x^2}$
Simplification
- $\forall x\in ]-1, 1[ : \arcsin x = \frac{\pi}{2} - \arccos x$
- $\forall x\in\mathbb{R} : \textrm{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x $
- $\forall x\in ]-1, 1[ : \sin(\arccos(x)) = \sqrt{1-x^2}$
- $\forall x\in ]-1, 1[ : \cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2} $
- $\forall x\in ]0, 1[ : \arccos(x) = \arcsin(\sqrt{1 - x^2}) $
- $\forall x\in ]-1, 1[ : \arccos(x) = \frac{1}{2} \arccos(2x^2-1) $
- $\forall x\in ]-1, 1[ : \arcsin(x) = \frac{1}{2} \arccos(1-2x^2) $
- $\forall x\in\mathbb{R} : \arctan(x) = \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\right) $
Exemple : Montrer que \( \tan(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \) sur \( ]-1, 1[ \)
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