Table des matières
Exploration du Calcul des Limites des Fonctions Cyclométriques
\( \def\R{{\mathbb R}} \newcommand{\dom}[1]{\text{dom}\,#1} \newcommand{\ima}[1]{\text{im}\,#1} \newcommand{\intf}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\into}[2]{\left] #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intfo}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intof}[2]{\left] #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\Par}[1]{\left( #1 \right)} \)
Règle de l'Hospital
- La règle de l'Hospital est permet de lever certaines limites indéterminées. Elle s'applique dans le contexte où on considère deux fonctions dérivables \( f \) et \( g \) en un point \( x_0 \) ou à l'infini, et où le quotient \( \frac{f(x)}{g(x)} \) est sous forme indéterminée \( \frac{0}{0} \) ou \( \frac{\pm \infty}{\pm \infty} \).
- Principe de la règle de l'Hospital : Si \( \frac{f'(x)}{g'(x)} \) admet une limite finie \( \ell \) lorsque \( x \to x_0 \) ou \( x \to \pm\infty \), alors \( \frac{f(x)}{g(x)} \) tend également vers \( \ell \).
- Hypothèses requises :
- Les fonctions \( f \) et \( g \) s'annulent en \( x_0 \) (ou tendent vers \( \pm \infty \) dans les cas infinis).
- La dérivée \( g' \) ne s'annule pas autour de \( x_0 \) (ou pour des valeurs suffisamment grandes de \( x \) si on tend vers \( \pm\infty \)).
- Conclusion : la règle de l'Hospital permet de lever l'indétermination en remplaçant le calcul de \( \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} \) par celui de \( \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \). Cette règle est aussi valide pour les limites à l'infini dans les cas de forme indéterminée \( \frac{\pm \infty}{\pm \infty} \).
Méthode par l'exemple
1. \(\bbox[lightblue,5px] {\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left(\arctan(x) + \frac{\arcsin(x)}{x}\right)}\)
Cette limite n'existe pas (ne peut être calculée) car \( \dom f = \intf{-1}{1}\setminus \{0\}\)
Conclusion : il faut toujours rechercher le domaine d'existence de la fonction avant de calculer sa limite.
2. \(\bbox[lightblue,5px] {\lim\limits_{x \rightarrow 0} x \cdot \arctan\left(\frac{\pi}{x}\right)}\)
- On peut calculer cette limite car \(\dom f = \mathbb{R}_0\).
- À droite de \(0\) : \[ \lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}x \cdot \arctan\left(\frac{\pi}{x}\right) = \left(\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}x\right)\cdot \left(\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\arctan\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)= 0\cdot\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \]
- À gauche de \(0\) : \[ \lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}x \cdot \arctan\left(\frac{\pi}{x}\right) = \left(\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}x\right)\cdot \left(\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}\arctan\left(\frac{\pi}{x}\right)\right) = 0\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 \]
Les limites directionnelles sont identiques, on peut donc écrire : \[ \lim\limits_{x\rightarrow 0} x \cdot \arctan\left(\frac{\pi}{x}\right) = 0 \] Conclusion : étant donné l'absence de formes indéterminées, il est interdit d'appliquer la règle de l'Hospital.
Remarque : le graphe de \(f\) admet un point creux en \((0,0)\).
3. \(\bbox[lightblue,5px] {\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x \cdot \arctan\left(\frac{\pi}{x}\right)}\)
- \(\dom f = \mathbb{R}_0\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x \cdot \arctan\left(\frac{\pi}{x}\right) = \left(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x\right)\cdot \left(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\arctan\left(\frac{\pi}{x}\right)\right) = \left ( +\infty\right ) \cdot \left ( 0\right ) \) est une forme indéterminée.
- Conclusion : on peut appliquer la règle de l'Hospital !
Pour appliquer la règle de l'Hospital à un produit de deux fonctions, il est souvent nécessaire de le transformer en un quotient.
Il faut écrire l'une des fonctions sous forme d'inverse, c'est-à-dire que \( f(x) \cdot g(x) \) devient \( \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}} \) ou \( \frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}} \). \[\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x\cdot \arctan\left(\frac{\pi}{x}\right) = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{\arctan\left(\frac{\pi}{x}\right)}{1/x} \stackrel{\text{FI}}{=}\left[\frac{0}{0}\right] \stackrel{\text{H}}{=} \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{\left(\arctan\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)^\prime}{\left(1/x\right)^\prime} = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{\pi x^2}{x^2+\pi^2 } = \pi \] Remarque : le graphe de \(f\) admet une asymptote horizontale à droite d'équation \(y=\pi\).
Rappelons-nous toujours de vérifier les conditions d'application de la règle de l'Hospital et de ne pas l'utiliser mécaniquement.
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