Techniques de dérivation appliquées aux fonctions cyclométriques

Cette page a été consultée 1 fois aujourd'hui et 1 fois hier (au total : 24)

Formulaire

$\arcsin$ est dérivable sur $]-1, 1[$ : $\left(\arcsin x\right)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \ \text{ et } \ \left(\arcsin \left(u(x)\right)\right)' = \frac{u'(x)}{\sqrt{1 - u^2(x)}}$
$\arccos$ est dérivable sur $]-1, 1[$ : $\left(\arccos x\right)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \ \text{ et } \ \left(\arccos \left(u(x)\right)\right)' = -\frac{u'(x)}{\sqrt{1 - u^2(x)}}$
$\arctan$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ : $\left(\arctan x\right)' = \frac{1}{1 + x^2} \ \text{ et } \ \left(\arctan \left(u(x)\right)\right)' = \frac{u'(x)}{1 + u^2(x)}$
autres formules : $(u\pm v)' = u'\pm v'$; $(u \cdot v)'=u' \cdot v+u \cdot v'$; $\left( \frac{u}{v} \right)'= \frac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^2}$ et $(u\circ v)' = (u' \circ v) \cdot v'$

dérivée d'un produit : \[\begin{align*}\left(x\cdot \arcsin x\right)' &= (x)'\cdot \arcsin(x)+x\cdot \left(\arcsin x\right)' \\\ &= \arcsin \left(x\right)+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\end{align*}\]
dérivée d'un quotient : \[\begin{align*} \left( \frac{\arcsin x}{\arccos x}\right)' &= \frac{\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\arccos \left(x\right)-\left(-\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\arcsin \left(x\right)}{\left(\arccos \left(x\right)\right)^2} \\ &= \frac{\arccos \left(x\right)+\arcsin \left(x\right)}{\arccos ^2\left(x\right)\sqrt{1-x^2}} \\ &= \frac{\pi}{2\arccos ^2\left(x\right)\sqrt{1-x^2}} \quad \text{car} \arccos \left(x\right)+\arcsin \left(x\right) = \tfrac{\pi}{2} \quad \left(\forall x\in \left[-1;1\right]\right) \end{align*}\]
dérivée d'une composition : \[\begin{align*}\left(\arctan\left(\sqrt{x}\right)\right)' &= \frac{\left(\sqrt{x}\right)'}{1 + \left(\sqrt{x}\right)^2}\\ &= \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{1 + x }\\ &= \frac{1}{2\left(1+x\right)\sqrt{x}}\end{align*}\]