Table des matières
Les fonctions exponentielles
Thèmes des exercices :
Lien vers le nombre d'Euler et la fonction exponentielle népérienne : Exponentielle naturelle et nombre d'Euler \( \newcommand{\intff}[2]{\left[#1\,;#2\right]} \newcommand{\intfo}[2]{\left[#1\,;#2\right[} \newcommand{\intof}[2]{\left]#1\,;#2\right]} \newcommand{\intoo}[2]{\left]#1\,;#2\right[} \newcommand{\Par}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \)
Introduction
Nous nous sommes jusqu'à maintenant limités à l'étude des fonctions algébriques. Nous sommes par conséquent familiers avec des fonctions telles \[f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ~;~ x \mapsto x^2 \textrm{ ou } g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ~;~ x \mapsto \sqrt{x}\] Ces deux fonctions ont pour caractéristique d'être définies à l'aide d'une expression contenant une variable élevée à une puissance constante.
En inversant les rôles et en élevant une constante (non négative et différente de l'unité) à une puissance variable, on obtient une des plus importantes classes de fonctions qui existent en mathématiques, la fonction exponentielle.
En voici deux exemples: \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ~;~ x \mapsto 2^x \) et aussi \(g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ~;~ x \mapsto \Par{\frac{1}{2}}^x\)
On note également $2^x$ par $\exp_2(x)$.
|
|
|
Propriétés des puissances
Quelques règles fondamentales qui s'appliquent à tout nombre réel strictement positif, quelle que soit la valeur des exposants : \[\forall m,n \in \mathbb{R}\; \text{et} \; a\in\mathbb{R}^+_0\ : \ a^0=1\; ;\ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \; ;\ \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \; ;\ \bigl(a^m\bigr)^n = a^{m\cdot n}\]
Fonction exponentielle
De façon générale, la fonction $\exp_{a} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ~;~ x \mapsto a^x$ avec $a > 0$ et $a \neq 1$, définit une fonction exponentielle de base $a$.
C'est une fonction continue sur son domaine de définition.
Caractéristiques importantes
Toute fonction ${\exp_a}$ vérifie
- $\textrm{dom } f = \mathbb{R}$ et $\textrm{im } f = \mathbb{R}_0^+$ ($\exp_a(x) >0$)
- son graphe comprend toujours les points $\Par{0;1}$ ($\exp_a(0) = 1$) et $\Par{1;a}$
- Si $a>1$, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$,
- $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 0$ (asymptote horizontale à gauche $y=0$)
- Si $0<a<1$, $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$,
- $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0$ (asymptote horizontale à droite $y=0$) et $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = +\infty$
On rappelle encore une fois les raisons pour lesquelles il faut que la base $a$ de l'exponentielle soit un nombre réel strictement positif et différent de 1 ?
- si a était négatif, certaines puissances de a n'existeraient pas : $f(x)=(-2)^x$ n'est pas définie en $x=1/2$
- si $a=0$, la fonction $f(x)=0^x$ ne présente aucun intérêt (elle n'est définie que pour des réels strictement positifs et elle vaut alors toujours $0$)
- si a$=1$ alors $f$ n'est autre que la fonction constante $ f: x\mapsto 1$.
Manipulations de graphes
Il est intéressant d'utiliser les manipulations de graphes vues en 4ème et en 5ème pour obtenir des graphes de fonctions exponentielles construites à partir de fonctions plus simples.
Par exemple, $g(x)=2^{x-3}$ ou $h(x)=\left|2^{x}-1\right|$
Propriétés des fonctions exponentielles
$\forall a, b \in \mathbb{R}^+_0 \setminus \{ 1 \}$ et $x$, $y$ variables réelles.
- $\exp_a(-x) = {\exp_{1/a}(x)}$
- $\exp_a(x)\cdot\exp_a(y) = \exp_a(x+y)$
- $\frac{\exp_a(x)}{\exp_a(y)} = \exp_a\Par{x-y}$
- $\Par{\exp_a\Par{x}}^y = \exp_a(x\cdot y)$
- $\exp_{ab}(x) = \exp_a(x)\cdot \exp_b(x)$
- $\exp_{\frac{a}{b}}\Par{x}=\frac{\exp_a(x)}{\exp_b(x)}$
Ces six propriétés permettent de simplifier l'expression analytique des fonctions exponentielles
Equations, inéquations, domaines
On appelle (in)équation exponentielle toute équation où l'inconnue apparait en exposant. L'utilisation des propriétés suivantes permet de les résoudre.
Propriétés : Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}^+_0 \setminus \left\{1\right\}$
- Si $a \in \mathbb{R}^+_0 \setminus \{ 1 \}$ alors $\exp_a(x) = \exp_a(y) \; \Longleftrightarrow \; x=y$
- Si $a>1$ alors la fct. est croissante et $\exp_a(x) < \exp_a(y)\;\Longleftrightarrow\;x < y$
- Si $0<a<1$ alors la fct. est décroiss. et $\exp_a(x) < \exp_a(y)\;\Longleftrightarrow\;x > y$
Dérivée première
Calcul différentiel :
On dérive la fonction exponentielle $x\mapsto a^x$ via le calcul de la limite suivante :
\begin{align*} \exp_a^{\prime}(x) = \left(a^x\right)' &= \lim\limits_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} \\ &= \lim\limits_{h\to 0}\frac{a^{x} \cdot a^{h}-a^x}{h} \\ &= \left(\lim\limits_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}\right) \cdot a^{x} \\ &= \exp_a^{\prime}(0) \cdot a^{x} %\;\textrm{ou}\; \exp_a^{\prime}(0) \cdot \exp_a(x) \end{align*}
Interprétation graphique du nombre dérivé en $0$
La constante multiplicative $ \lim\limits_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$ est la pente de la tangente au graphe de la fonction exponentielle au point d'abscisse $0$.
On l'écrit donc $\exp_a^{\prime}(0)$ car $\lim\limits_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$ correspond à $ \lim\limits_{h\to 0}\frac{a^{0+h}-a^0}{h}$ qui est la valeur de la dérivée de $\exp_a$ calculée en $x=0$.
Elle dépend de la valeur de la base $a$ de l'exponentielle. La fonction $\exp_a$ est monotone, le signe de sa dérivée dépend uniquement du signe de $\exp_a^{\prime}(0)$.
| Intervalle | Dérivée | Propriétés de la fonction |
|---|---|---|
| \(0<a<1\) | \(\exp_a^{\prime}(x) < 0\) | \(f:x\mapsto \exp_a(x)\) strict. décroissante |
| \(a>1\) | \(\exp_a^{\prime}(x) > 0\) | \(f:x\mapsto \exp_a(x)\) strict. croissante |
Actuellement, nous n'avons pas de moyens de calculer cette constante de manière exacte : cela sera possible lorsque nous disposerons des fonctions logarithmiques. Nous pouvons simplement évaluer cette constante de manière empirique pour quelques valeurs de a.
Exemple : approximation de $\exp_{3}^{\prime}(0) = \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{3^h-1}{h} \left(\stackrel{\textrm{FI}}{=} \left[\dfrac00\right]\right)$
| \(h\) | 1 | \(0,01\) | \(10^{-3}\) | \(10^{-8}\) |
| \(\frac{3^h-1}{h}\) | \(2\) | \(1,105\) | \(1,099\) | \(1,0986\) |
D'où \(\exp_{3}^{\prime}(0) \approx 1,0986\)
205 visites