Table des matières
Exponentielle naturelle et nombre d'Euler
\(\newcommand{\intff}[2]{\left[#1\,;#2\right]} \newcommand{\intfo}[2]{\left[#1\,;#2\right[} \newcommand{\intof}[2]{\left]#1\,;#2\right]} \newcommand{\intoo}[2]{\left]#1\,;#2\right[} \newcommand{\Par}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\dom}[1]{\textbf{dom}\,#1} \newcommand{\ima}[1]{\textbf{im}\,#1} \newcommand{\e}{\mathbf{e}}\) La fonction exponentielle qui est égale à sa dérivée est appelée fonction exponentielle naturelle ou encore népérienne. La base de cette fonction exponentielle particulière est notée e et vaut approximativement \(2,718\) comme nous allons le montrer dans ce qui suit.
Pour que \(\exp_{\text{e}}^{\prime}(x) = \exp_{\text{e}}(x)\), il suffit de poser \(\exp_{\text{e}}^{\prime}(0)=1\). On a : \[ \exp_{\text{e}}^{\prime}(0)=1 \iff \lim\limits_{h\to 0}\frac{\text{e}^h-1}{h} = 1 \iff \frac{\text{e}^h-1}{h} \approx 1 \text{ quand } h \approx 0 \text{ ($h$ très proche de $0$)} \]
Cela signifie aussi que \(\text{e}^h-1 \approx h \; \text{ quand } h \approx 0\), et de fil en aiguille : \[ \text{e}^h \approx 1+h \; \text{ quand } h \approx 0 \iff \text{e} \approx \left(1+h\right)^{\frac{1}{h}} \; \text{ quand } h \approx 0 \]
Finalement : \[ \mathbf{e}=\lim\limits_{h\to 0}\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}} \; \text{ ou bien } \; \mathbf{e}=\lim\limits_{n\to +\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \; (poser \; n=1/h) \]
On note \(\exp\) cette fonction (on omet le “e” en indice) : \( \exp(x)=\mathbf{e}^x\)
Nombre d'Euler
Nombre d'Euler : \(\bbox[lightyellow,5px]{\text{e} = \lim\limits_{n\to+\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = \lim\limits_{h\to 0}\left(1 + h\right)^{\frac{1}{h}} \approx 2,71828}\)
Calculs de limites : $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\frac{n+3}{n}\right)^n =\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^n = \Par{\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^{\frac{n}{3}}}^{3} = \mathbf{e}^{3}$
Propriétés
On note \( \exp(x) = \text{e}^x \). La fonction \(\exp\) est définie, continue et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
- Pour tout \( x\in \mathbb{R} \) : \(\exp(x)>0\).
- Pour tout \( x \in \mathbb{R} \) et \( y \in \mathbb{R} \), \(\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)\)
- Pour tout \( x \in \mathbb{R} \) et \( y \in \mathbb{R} \), \(\exp(x-y) = \frac{\exp(x)}{\exp(y)}\)
- Pour tout \( x \in \mathbb{R} \) et \( n \in \mathbb{Z} \), \(\exp(nx) = (\exp(x))^n\)
Variations
La fonction \(\exp\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Pour tout réel \(a\) et \(b\), \[\left\{\begin{array}{rcl}\text{e}^a=\text{e}^b & \Longleftrightarrow & a=b\\\text{e}^a>\text{e}^b & \Longleftrightarrow & a>b\\\end{array}\right.\]
Résolution d'équation
Résoudre dans \(\R\) l'équation \(\mathbf{e}^{2x} = \mathbf{e}^{x+1}+\mathbf{e}^{x}- \mathbf{e}\) \[\mathbf{e}^{2x} = \mathbf{e}^{x+1}+\mathbf{e}^{x}- \mathbf{e} \iff \mathbf{e}^{2x} - \left(\mathbf{e}+1\right) \mathbf{e}^{x} + \mathbf{e} = 0\]
- On pose $y=\mathbf{e}^x$ : $y^2 - \left(\mathbf{e}+1\right) y + \mathbf{e} = 0$
- Somme des racines = $\mathbf{e}+1$ et Produit des racines = $\mathbf{e}$
- Les racines sont $1$ et $\mathbf{e}$, par conséquent $\mathbf{e}^{x}=1$ et $\mathbf{e}^{x}=\mathbf{e}$.
On trouve S=$\left\{0~;~1\right\}$.
Domaines de fonctions
Soit $f: x \mapsto \sqrt{1-\mathbf{e}^{2 x}}$
CE : $1-\mathbf{e}^{2 x} \geq 0 \iff 1 \geq \mathbf{e}^{2 x} \iff \mathbf{e}^{0} \geq \mathbf{e}^{2 x} \iff 0 \geq 2x \iff x\leq 0$
\[\dom f = \mathbb{R}^-\]
Limites aux bords du domaine
\[ \bbox[lightyellow,5px]{\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^x = + \infty \quad \text{et} \quad \lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0} \]
Formule pratique : \( \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \exp\left(f(x)\right) = \exp\left(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x)\right) \)
Exemple : \( \bbox[lightyellow,5px]{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \text{e}^{-x^2} = \text{e}^{\; \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} -x^2} = \text{e}^{-\infty} = 0} \)
Règle de l'Hospital
Exemples :
- \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\text{e}^x}{x}=+\infty \quad \text{car} \quad \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\text{e}^x}{x}=\left[\frac{+\infty}{+\infty}\right] \stackrel{\text{H}}{=} \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\left(\text{e}^x\right)^\prime}{x^\prime} = \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\text{e}^x}{1} = \text{e}^{+\infty} = +\infty \)
- \(\lim\limits_{x \to -\infty} x \cdot \text{e}^x = 0 \text{ car } \lim\limits_{x \to -\infty} x \cdot \text{e}^x = \lim\limits_{x \to +\infty} -x \cdot \text{e}^{-x} = \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{-x}{\text{e}^{x}} \stackrel{\text{H}}{=} \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{-1}{\text{e}^{x}} = 0\)
- On a aussi \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\text{e}^x}{x^n}=+\infty\) et ceci \(\forall n\in\mathbb{N}\) (règle de l'Hôpital \(n\) fois)
- \(\begin{aligned}[t] \lim\limits_{x\to -1^-} (x+1) \cdot \mathbf{e}^{\frac{1}{x+1}} &= 0\cdot \e^{\frac{1}{0^-}} \\ &= 0\cdot \e^{-\infty} = 0 \quad \implies \quad \text{Point creux à gauche en $(-1,0)$.}\end{aligned}\)
- \(\bbox[#FFDEAD,5px]{\begin{aligned}[t] \lim\limits_{x\to -1^+} (x+1) \cdot \mathbf{e}^{\frac{1}{x+1}} = \left[0 \cdot \Par{+\infty}\right] &= \lim\limits_{x\to -1^+} \frac{\mathbf{e}^{\frac{1}{x+1}}}{\frac{1}{x+1}}\\ &\stackrel{H}{=} \lim\limits_{x\to -1^+} \frac{-\frac{1}{(x+1)^2} \cdot \e^{\frac{1}{x+1}}}{-\frac{1}{(x+1)^2}}\\ &= \lim\limits_{x\to -1^+} \e^{\frac{1}{x+1}} = +\infty \quad \implies \quad AV_d\equiv x=-1 \end{aligned}}\)
Dérivation
Nombre dérivé en \(0\) : \( \lim\limits_{x \to 0} \frac{\text{e}^x-1}{x} = \text{e}^\prime(0) = 1 \)
formules : \(\left(\text{e}^x\right)^\prime = \text{e}^x\) et \(\left(\text{e}^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot \text{e}^{u(x)}\)
Exemple : \(\left(\mathbf{e}^{-x^2}\right)' = \mathbf{e}^{-x^2} \cdot \left(-x^2\right)' = -2x \cdot \mathbf{e}^{-x^2} \quad \rightleftarrows \quad \) variations de fonction
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