Domaines et résolution d'(in)équations exponentielles

$\newcommand{\dom}[1]{\textbf{dom}\,#1} \newcommand{\ima}[1]{\textbf{im}\,#1} \newcommand{\intf}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\into}[2]{\left] #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intfo}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intof}[2]{\left] #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\Par}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\Sol}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}}$

Exercice 1 : Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

n° 1.1 : $11^{x^{2}+3}=11^{2 x^{2}-6}$

Solution

Rappel : on ne supprime pas les “ $a$ ”, on applique la propriété ! : $a^x = a^y \iff x = y$

$x^2+3=2x^2-6 \iff x=3,\:x=-3$ et $S=\left\lbrace \pm 3 \right\rbrace$

n° 1.2 : $3^{2x}-3^{x-2}=0$

Solution

$3^{2x}=3^{x-2} \iff 2x=x-2$ et $S=\lbrace-2\rbrace$

n° 1.3 : $\left(0,5\right)^{3x-1}=1$

Solution

$\left(0,5\right)^{3x-1}=1 \iff \left(0,5\right)^{3x-1}=\left(0,5\right)^0 \iff 3x-1=0$ et $S=\left\lbrace\frac{1}{3}\right\rbrace$

n° 1.4 : $4^{1-2x}-\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{x}{2}}=0$

Solution

$S=\left\lbrace 1 \right\rbrace$

n° 1.5 : ${0,25}^{1-3x} = 4^{2x+3}$

Solution

$\begin{aligned}[t] {0,25}^{1-3x} = 4^{2x+3} &\iff 4^{3x-1} = 4^{2x+3} \\ &\iff 3x-1=2x+3 \end{aligned}$

et $S=\left\lbrace 4 \right\rbrace$

n° 1.6 : ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{2x} = \frac{16}{9}$

Solution

$\begin{aligned}[t] {\left(\frac{3}{4}\right)}^{2x} = \frac{16}{9} &\iff {\left(\frac{3}{4}\right)}^{2x} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-2}\\ &\iff 2x=-2 \end{aligned}$

et on a $S=\left\lbrace -1 \right\rbrace$

n° 1.7 : ${{0,2}}^{\left(-x^2\right)} \cdot {{25}}^x ~=~ {{125}}$

Solution

$\begin{aligned}[t] {{0,2}}^{\left(-x^2\right)} \cdot {{25}}^x ~=~ {{125}} &\iff {{\left(\frac{1}{5}\right)}}^{\left(-x^2\right)} \cdot {{\left(5^2\right)}}^x ~=~ {{5^3}}\\ &\iff {5}^{\left(x^2\right)} \cdot {5}^{2x} ~=~ {{5^3}}\\ &\iff {5}^{\left(x^2 + 2x\right)} ~=~ {{5^3}}\\ &\iff x^2 + 2x=3\\ &\iff x^2 + 2x - 3 = 0 \end{aligned}$

$S=\left\lbrace -3 ~;~ 1 \right\rbrace$

n° 1.8 : $3^{4 x-1}=27^{2 x}$

Solution

$\begin{aligned}[t] 3^{4 x-1}=27^{2 x} &\iff 3^{4 x-1}={\left(3^3\right)}^{2 x}\\ &\iff 3^{4 x-1}={3}^{6 x}\\ &\iff 4x-1=6x \end{aligned}$

et $S=\left\lbrace -\frac{1}{2} \right\rbrace$

n° 1.9 : $27\cdot 3^x=81^{2 x+1}$

Solution

$\begin{aligned}[t] 27\cdot 3^x=81^{2 x+1} &\iff 3^3\cdot 3^x=\left(3^4\right)^{2 x+1}\\ &\iff 3^{x+3}=3^{8x+4}\\ &\iff x+3=8x+4 \end{aligned}$

et $S=\left\lbrace -\frac{1}{7} \right\rbrace$

n° 1.10 : $4^{x+1}=2^{x} \sqrt{2}$

Solution

$\begin{aligned}[t] 4^{x+1}=2^{x} \sqrt{2} &\iff \left(2^2\right)^{x+1}=2^{x} 2^{1/2} \end{aligned}$

et $S=\left\lbrace -\frac{3}{2} \right\rbrace$

n° 1.11 : $\dfrac{1}{3^{x-1}}=81$

Solution

$\begin{aligned}[t] \dfrac{1}{3^{x-1}}=81 &\iff 3^{1-x}=3^4\\ &\iff {1-x}=4 \end{aligned}$

et $S=\left\lbrace -3 \right\rbrace$

n° 1.12 : $\left(3^{x-1}\right)^{3}=9 \cdot 3^{x-2}$

Solution

$\begin{aligned}[t] \left(3^{x-1}\right)^{3}=9 \cdot 3^{x-2} &\iff 3^{3x-3}=3^2 \cdot 3^{x-2}\\ &\iff 3^{3x-3}=3^{x}\\ &\iff 3x-3=x \end{aligned}$

et $S=\left\lbrace \frac{3}{2} \right\rbrace$

n° 1.13 : $16^{x}=64$

Solution

$\begin{aligned}[t] 16^{x}=64 &\iff 2^{4x}=2^6\\ &\iff 4x=6 \end{aligned}$

et $S=\left\lbrace \frac{3}{2} \right\rbrace$

n° 1.14 : $5^{3 x+2}-\frac{1}{25}=0$

Solution

$\begin{aligned}[t] 5^{3 x+2}=\frac{1}{25} &\iff 5^{3 x+2}=5^{-2}\\ &\iff 3x+2=-2 \end{aligned}$

et $S=\left\lbrace -\frac{4}{3} \right\rbrace$

n° 1.15 : $2^{x^{2}} \cdot 4^{x}=8$

Solution

$\begin{aligned}[t] 2^{x^{2}} \cdot 4^{x}=8 &\iff 2^{x^{2}} \cdot 2^{2x}=2^3\\ &\iff 2^{x^{2}} \cdot 2^{2x}\cdot 2^{-3}=1\\ &\iff 2^{x^{2}+2x-3} = 2^0\\ &\iff x^{2}+2x-3=0 \end{aligned}$

et $S=\left\lbrace -3; 1 \right\rbrace$

Exercice 2 : Résoudre dans $\R$ : (variable intermédiaire)

n° 2.1 : $2 \cdot 2^{6 x-1}+3 \cdot 2^{3 x+1}+9=0$

Solution

$\begin{align} 2 \cdot 2^{6 x-1}+3 \cdot 2^{3 x+1}+9=0 &\iff 2 \cdot 2^{6 x} \cdot 2^{-1} + 3 \cdot 2^{3 x} \cdot 3 + 9=0\\ &\iff 2^{6 x} + 6 \cdot 2^{3 x} + 9=0 \qquad \text{on pose } u=2^{3x}\\ &\iff u^2 + 6\cdot u + 9=0\\ &\iff \left(u+3\right)^2=0\\ &\iff u=-3 \end{align}$ Or $u=2^{3x}$ , d'où $u=-3$ devient $2^{3x}=-3$ . Aucune solution possible car $2^{3x}$ est strictement positif pour tout réel $x$ . $\text{S} = \emptyset$

n° 2.2 : $5 \cdot 5^{4 x+2}-26 \cdot 5^{2 x+2}+125=0$

Solution

$\begin{align} 5 \cdot 5^{4 x+2}-26 \cdot 5^{2 x+2}+125=0 &\iff 5 \cdot 5^{4 x} \cdot 5^2-26 \cdot 5^{2 x}\cdot 5^2+125=0 \\ &\iff 5^3 \cdot 5^{4 x} -26\cdot 5^2 \cdot 5^{2 x}+5^3=0 \\ &\iff 5^{4 x} -\tfrac{25}{5} \cdot 5^{2 x}+1=0 \qquad \text{on pose } u=5^{2x}\\ &\iff u^2-\tfrac{26}{5} u+1=0\\ &\iff u=5,\:u=\tfrac{1}{5}\\ &\iff 5^{2x}=5,\:5^{2x}=5^{-1}\\ &\iff 2x=1,\; 2x=-1 \end{align}$

$\text{S} = \Sol{\tfrac12,-\tfrac12}$

n° 2.3 : $9^x+3=4\cdot 3^{x}$

Solution

on pose $y=3^x$

(d'où $y^2=\left(3^x\right)^2=3^{2x}=\left(3^2\right)^x=9^x$ )

$\begin{align*} 9^x+3=4\cdot 3^{x} &\iff y^2+3=4 y\\ &\iff y^2-4 y+3=0\\ &\iff y={1} \text{ ou } y={3}\\ &\iff 3^x={3^0} \text{ ou } 3^x={3^1} \end{align*}$

donc $x=0$ ou $x=1$ et $\boxed{\text{S} = \left\{0~ ;~1\right\}}$

n° 2.4 : $5\cdot 3^{x-1} - 2 \cdot 3^{1-x} = 3$

Solution

on pose $y=3^{x-1}$ d'où $\frac{1}{y}=3^{1-x}$ $\begin{align*} 5\cdot 3^{x-1} - 2 \cdot 3^{1-x} = 3 &\iff 5y-2\frac{1}{y}=3 \\ &\iff 5y^2-3y-2=0 \\ &\iff y=1 \text{ ou } y=-2/5\\ &\iff 3^{x-1}=1 \text{ ou } 3^{x-1}=-2/5 \end{align*}$ Comme $3^{x-1}$ est toujours strictement positif, $3^{x-1}=-2/5$ ne possède aucune solution.

Il reste ${\color{black}{3^{x-1}=1}} \iff {\color{black}{3^{x-1}=3^0}} \iff {\color{black}{x=1}}$ .

L'ensemble des solutions est $\boxed{{\text{S} = \left\{1\right\}}}$

n° 2.5 : $2^x+4^x=2$

Solution

on pose $y=2^x$ (d'où $y^2=4^x$ ) $\begin{align*} 2^x+4^x=2 &\iff y+y^2=2\\ &\iff y^2+y-2=0\\ &\iff y=1 \text{ ou } y=-2\\ &\iff 2^x=1\\ & \text{ et donc } \boxed{{\text{S} = \left\{0\right\}}} \end{align*}$

n° 2.6 : $5^{2x}-30\cdot 5^x+125=0$

Solution

on pose $y=5^x$ (d'où $y^2=5^{2x}$ )

$\begin{align*} 5^{2x}-30\cdot 5^x+125=0 &\iff y^2-30y+125=0\\ &\iff y=5 \text{ ou } y=25\\ &\iff 5^x=5 \text{ ou } 5^x=25\\ & \text{ d'où } \boxed{{\text{S} = \left\{1~ ;~2\right\}}} \end{align*}$

n° 2.7 : $2^x+2^{3+x}=\frac94$

Solution

on pose $y=2^x$ $\begin{align*} 2^x+2^{3+x}=\frac94 &\iff 2^x+2^{3}\cdot 2^{x}=\frac94\\ &\iff y+8\cdot y=\frac94\\ &\iff (1+8) \cdot y=\frac94\\ &\iff 9 \cdot y=\frac94\\ &\iff y=\frac14\\ &\iff 2^x=2^{-2} \quad \text{ d'où } \boxed{{\text{S} = \left\{-2\right\}}} \end{align*}$ Cet exercice aurait pu être résolu sans passer par un changement de variable.

n° 2.8 : $30\cdot 3^x-9^x-81=0$

Solution

on pose $y=3^x$ (d'où $y^2=9^x$ )

$\begin{align*} 30\cdot 3^x-9^x-81=0 &\iff y^2-30y+81=0\\ &\iff y=3 \text{ ou } y=27\\ &\iff 3^x=3 \text{ ou } 3^x=27\\ & \text{ d'où } \boxed{{\text{S} = \left\{1~ ;~3\right\}}} \end{align*}$

Exercice 3 : Résoudre les inéquations exponentielles suivantes :

n° 3.1 : $9^{2x+1}>1$

Solution

$S=\left]-\frac{1}{2}; +\infty\right[$

n° 3.2 : $2^{5x-3}\leq\left(\frac{1}{8}\right)^{2-x}$

Solution

$S=\left]-\infty; -\frac{3}{2}\right[$

n° 3.3 : ${{0,2}}^{\left(-x^2\right)} \cdot {{25}}^x ~>~ {{125}}$

Solution

n° 3.4 : ${{2}}^x ~-~ 16 \cdot {{2}}^{3x+2} \leq 0$

Solution

n° 3.5 : ${{0,17}}^{x^2-4} \leq 1$

Solution

Exercice 4 : Déterminez le domaine de définition des fonctions suivantes en précisant clairement les différentes C.E. :

n° 4.1 : $f(x)=\dfrac{\sqrt{3^x-3 }}{{3 }^{2x-4 }-\sqrt{3 }}$

Solution

C.E. : $\begin{aligned}[t] 3^x-3 \geq 0 \; \text{ et } \; 3^{2x-4}-\sqrt{3} \neq 0 &\iff 3^x \geq 3 \; \text{ et } \; 3^{2x-4} \neq \sqrt{3}\\ &\iff 3^{x} \geq 3^{1} \; \text{ et } \; 3^{2x-4} \neq 3^{1/2}\\ &\iff {x} \geq {1} \; \text{ et } \; {2x-4} \neq {1/2} \end{aligned}$

$\text{dom } f = \left[ 1;+\infty\right[ \setminus \left\lbrace \frac{9}{4} \right\rbrace$

n° 4.2 : $f(x)= \sqrt{\dfrac{2+4^x}{2-4^x} }$

Solution

C.E. : $\dfrac{2+4^x}{2-4^x} \geq 0$
Or, $2+4^x>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ , donc, $\text{C.E. : }\dfrac{2+4^x}{2-4^x} \geq 0 \iff \text{C.E. : } 2-4^x>0 \iff x<\frac{1}{2}$ $\text{dom } f = \left]-\infty; \frac{1}{2}\right[$

Exercice 5 : Résoudre dans $\R$ (exercices mélangés)

n° 5.1 : $2^{2x}=40+3\cdot 2^{x}$

Solution

on pose $T=2^x$ $T^2-3T-40=0 \iff T=8\; , \; -5 \qquad \textrm{finalement : } \quad S=\left\lbrace3\right\rbrace$

n° 5.2 : $28 \cdot 8^{2x+1} + 1 \leq 7 \cdot 2^{x-4} +1$

Solution

On se débarrasse des deux 1 de chaque côté $28\cdot 8^{2x+1} \leq 7\cdot 2^{x-4}$
On divise par 7 de chaque côté $4\cdot 8^{2x+1} \leq 2^{x-4}$
On ramène tout en base 2 et on utilise les lois des exposants. $2^2 \cdot (2^3)^{2x+1} \leq 2^{x-4} \iff 2^{6x+5} \leq 2^{x-4}$
Comme les bases sont les mêmes de chaque côté de l'inégalité, cette dernière demeure vraie pour les exposants : $6x+5 \leq x-4$
On peut résoudre : $6x+5 \leq x-4 \iff x \leq -\frac{9}{5}$

$S=\left]-\infty~;~-\frac{9}{5}\right]$

n° 5.3 : $\sqrt{6^{-2x}}-216 \leq 0$

Solution

S $\:=\:[-3,\:\infty \:[$

n° 5.4 : $64\cdotp\sqrt{8^{x-3}}=0,125$

Solution

$x=-3$

n° 5.5 : $4^{2\left(x-1\right)}+1\leq \dfrac{2{,}5}{4^{1-x}}$

Solution

$S=\left[\frac12~;~\frac32\right]$

n° 5.6 : $\Par{\frac15}^x\leq 5^{2x-1}$

Solution

n° 5.7 : $9^{x+1}<3^{1-2x}$

Solution

n° 5.8 : $4\cdot2^{2x-3}-1>0$

Solution

n° 5.9 : ${3}^{5-6x} - \left(\frac{1}{27}\right) ^ \frac{x^2}{3} < 0$

Solution

n° 5.10 : $27^x-9^x-3^{x+1}+3\geq 0$

Solution

n° 5.11 : $3^{x-2}-3^{\frac{x-8}{2}}<9^{\frac{x+4}{4}}-1$

Solution

Exercice 6 : ENONCE

Solution