analyse:fonctions:exponentielles_logarithmes:exponentielles:nombre_euler_expo_naturelle:exercices

Exercices concernant la fonction exponentielle népérienne

Définition du nombre d'Euler

Exercice 1 : Calculer la valeur exacte des limites suivantes par le biais de la définition du nombre d'Euler.

n° 1.1 : limn→+∞(1+1n)2n

Solution

Solution

limn→+∞(1+1n)2n=limn→+∞((1+1n)n)2=(limn→+∞(1+1n)n)2=e2


n° 1.2 : limn→+∞(1+2n)n

Solution

Solution

limn→+∞(1+2n)n=limn→+∞(1+2n)2⋅n2=(limn→+∞(1+2n)n2)2[n=2m]=(limm→+∞(1+1m)m)2=e2


n° 1.3 : limn→+∞(1−2n)n

Solution

Solution

limn→+∞(1−2n)n[h=−2n]=limh→0(1+h)−2h=(limh→0(1+h)1h)−2=e−2=1e2


n° 1.4 : limn→+∞(1+2n)3n

Solution

Solution

limn→+∞(1+2n)3n=limn→+∞(1+2n)6⋅n2=e6


n° 1.5 : limh→0(1+2h)1h

Solution

Solution

limh→0(1+2h)1h=limh→0(1+2h)22h=(limh→0(1+2h)12h)2changement de variable :t=2h=(limt→0(1+t)1t)2=e2


n° 1.6 : limn→+∞(n+3n)n

Solution

Solution

limn→+∞(n+3n)n=limn→+∞(1+3n)n=(limn→+∞(1+3n)n3)3=e3


n° 1.7 : autres limites à vérifier … limn→∞en(1+1n)n2=√elimn→∞e−n(1−1n)n2=√elimn→∞(2n+22n+1)n+2=√elimn→∞(an+aan+a−1)bn+c=eb/apour a,b,c∈R

Résolution d'équations

Exercice 2 : Résoudre dans R:

  1. e⋅exp(2x)=exp(x+2)+exp(x)−e
  2. exp(2x)=exp(x+1)+exp(x)−e
  3. ex+e−x=e2+1e

Solution

Solution

  1. e⋅e2x=ex+2+ex−e⟺e⋅e2x−(e2+1)⋅ex+e=0⟺e2x−(e+1e)⋅ex+1=0
    On pose y=ex : y2−(e+1e)y+1=0
    Somme des racines = e+1e et Produit des racines = 1
    Les racines sont 1e et e, par conséquent ex=1e et ex=e.
    On trouve S={−1 ; 1}.
  2. e2x=ex+1+ex−e⟺e2x−(e+1)ex+e=0
    On pose y=ex : y2−(e+1)y+e=0
    Somme des racines = e+1 et Produit des racines = e
    Les racines sont 1 et e, par conséquent ex=1 et ex=e.
    On trouve S={0 ; 1}.
  3. laissé au lecteur

Exercice 3 : Résoudre dans R

  1. 2⋅ex−3⋅e−x=1
  2. 2(e32x−e−32x)=e12x+5e−12x

Solution

Solution

Domaine de définition

Exercice 4 : Déterminez les domaines des fonctions suivantes :

  1. f(x)=exex+1−1
  2. f(x)=√1−e2x
  3. f(x)=ex−1ex+2
  4. f(x)=x4√e4x−2e2x+1
  5. f(x)=ex−1ex+1−√e
  6. f(x)=13√e3x−e

Techniques de dérivation

Exercice 5 : Calculer les dérivées des fonctions définies par les expressions suivantes

  1. f(x)=ex+x2+1
  2. f(x)=1ex
  3. f(x)=exx
  4. f(x)=5ex+5xex
  5. f(x)=ex⋅sin(x)
  6. f(x)=ex+1ex−1
  7. f(x)=3x+1−exex
  8. f(x)=x3⋅e−x
  9. f(x)=x2exx+1
  10. f(x)=(ex)2+1ex
  11. f(x)=e4x+1
  12. f(x)=e−x2
  13. f(x)=ecos(x)
  14. f(x)=e5x3+7x+4
  15. f(x)=(x+1)e−x+1
  16. f(x)=e2x−1x

Analyse

Exercice 6 : Vrai ou faux ?

  1. limx→+∞1ex−x=0
  2. limx→+∞1xe−x−x=−∞
  3. limx→0e2x−12x=0
  4. limx→−∞(e1x2−1)×x2=1

Exercice 7 : Vrai ou faux ?

Soit f définie sur R par f(x)=x⋅e2x−1

  1. f est dérivable sur R et f′(x)=(x+1)e2x
  2. f est croissante sur [−12;+∞[
  3. limx→+∞f(x)=+∞
  4. limx→−∞f(x)=−∞
  5. l'équation f(x)=−1 admet une solution unique dans R.

Exercice 8 : Soit la fonction f définie par f(x)=(2x2−3x+2)e−x+2.

  1. Déterminer le domaine de définition. Calculer les limites de f aux bornes du domaine de définition et étudier l'existence d'asymptotes éventuelles.
  2. Démontrer que f′(x)=(−2x2+7x−5)e−x+2. Établir le tableau de variation de f en précisant les extrema éventuels.
  3. Calculer la dérivée seconde, établir le tableau de concavité en indiquant les points d'inflexion éventuels.
  4. Tracer le graphe de f dans un repère orthonormé d'unité 1 cm.

Réflexions

Exercice 9 : Au temps initial (t=0), une réaction chimique impliquant la substance A a été initiée. Au cours de cette réaction, la masse m de la substance A varie selon la relation suivante : m(t)=a⋅2−0.05⋅t+bpour t≥0 où :

  • m — masse de la substance A exprimée en grammes,
  • t — temps exprimé en secondes (à partir de t=0),
  • a,b — coefficients numériques.

La masse initiale de la substance A (à t=0) est égale à m0 grammes.

Lorsque l'équilibre est atteint (t→+∞), la masse de cette substance est égale à 19 de sa masse initiale (voir graphique ci-dessous).

Calculez après combien de secondes (à partir du début de la réaction) 87,5 % de la masse initiale de cette substance auront réagi. Montrez vos calculs.

Solution

Solution

Après 120 secondes, 87,5% de la masse initiale de la substance A auront réagi.

Exercice 10 : À l’instant initial (t=0), une tasse de café chaud est placée dans une pièce où la température ambiante est constante et égale à 20∘C. La température du café au départ est de 80∘C.

L’évolution de la température T du café au cours du temps est décrite par l’équation suivante :

T(t)=(Tp−Tz)⋅k−t+Tz,pour t≥0

où :

  • T est la température du café en degrés Celsius,
  • t est le temps en minutes écoulé depuis l’instant initial,
  • Tp est la température initiale du café en degrés Celsius,
  • Tz est la température ambiante en degrés Celsius,
  • k est une constante caractéristique du liquide.

Après 10 minutes, la température du café a baissé à 65°C.

Déterminez la température du café après 5 minutes supplémentaires. Donnez votre réponse en degrés Celsius, arrondie à l’unité. Présentez vos calculs.

Solution

Solution

Exercice 11 : La charge électrique stockée dans un condensateur peut être décrite par l'équation suivante : Q(t)=Q0⋅β−tpour t≥0 où :

  • Q0 — charge initiale en millicoulombs,
  • Q — charge au temps t en millicoulombs,
  • β — constante positive,
  • t — temps en secondes.

On sait que :

  • À t=4s, la charge est de 2 millicoulombs,
  • À t=6s, la charge est de 18 millicoulombs.

Calculez combien de millicoulombs de charge étaient stockés dans ce condensateur au temps t=5s. Montrez vos calculs.

Solution

Solution

au temps t=5s, la charge dans le condensateur est de 6 millicoulombs.

Exercice 12 : La longueur en cm de beaucoup de poissons âgés de t années communément mis en vente peut être donnée par une fonction de croissance de _von Bertalanffy_ de la forme : f(t)=a⋅(1−b⋅e−k⋅t) où a,b∈R et k∈R+0 sont des constantes.

Le poids en kg d'un flétan du Pacifique en fonction de sa longueur en mètre est donné par la formule : p(ℓ)=10,375⋅ℓ3

  1. Déterminer a, b et k sachant qu'à la limite un flétan atteindra une longueur de 2 m, un flétan de 10 ans a une longueur de 168,4 cm et la vitesse de croissance d'un flétan de 10 ans est de 5,69 cm/année.
  2. Pour la suite de l'exercice, prendre a=200, b=0,956 et k=0,18. Estimer l'âge et la vitesse de croissance d'un flétan dont la longueur est de 100 cm.
  3. Calculer le poids d'un flétan de 5 ans.
  4. Quelle est la limite de poids d'un flétan du Pacifique ?

Solution

Solution

  1. a=200, b=0,158⋅e56,931,6≈0,956449 et k=5,6931,6≈0,180063
  2. On a f(t)=200⋅(1−0,956⋅e−0,18⋅t) et f′(t)= vitesse de croissance au temps t. Il faut résoudre l'équation f(t)=100⟺t=3,60083. Donc le flétan atteint une longueur de 100 cm après 3,6 années et sa vitesse de croissance est de f′(3,6)≃18 cm/ année
  3. Il faut calculer p(f(5)100)≃19  kg
  4. On a limt→+∞10,375(200⋅(1−0,956⋅e−0,18⋅t)100⏟→2)3=10,375⋅8=83 kg
  • analyse/fonctions/exponentielles_logarithmes/exponentielles/nombre_euler_expo_naturelle/exercices.txt
  • Dernière modification : 2025/03/13 18:27
  • de Frédéric Lancereau