Exercices concernant la fonction exponentielle népérienne

$\newcommand{\dom}[1]{\textbf{dom}\,#1} \newcommand{\ima}[1]{\textbf{im}\,#1} \newcommand{\intf}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\into}[2]{\left] #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intfo}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intof}[2]{\left] #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\Par}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\Sol}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}}$

Exercice 1 : Calculer la valeur exacte des limites suivantes par le biais de la définition du nombre d'Euler.

n° 1.1 : $\lim\limits_{n \to +\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^ {2n} $

Solution

$\lim\limits_{n \to +\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^ {2n} = \lim\limits_{n \to +\infty} \left(\left( 1+\frac{1}{n} \right) ^ {n}\right) ^2 = \left( \lim\limits_{n \to +\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^ {n}\right) ^2 = \mathbf{e}^2 $

n° 1.2 : $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n$

Solution

\begin{align} \lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n = \lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{2\cdot\frac{n}{2}} &= \Par{\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{n}{2}} }^2 \\ &\stackrel{\mathbf{[n=2m]}}{=} \Par{\lim\limits_{m \to +\infty}\left(1+\frac{1}{{m}} \right)^{m}}^2 = \mathbf{e}^2 \end{align}

n° 1.3 : $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1 - \frac{2}{n}\right)^n$

Solution

$ \lim\limits_{n \to +\infty}\left(1 - \frac{2}{n}\right)^n \stackrel{\mathbf{[h=-\frac2n]}}{=} \lim\limits_{h \to 0}\left(1+h\right)^{-\frac{2}{h}} = \Par{\lim\limits_{h \to 0}\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}}^{-2} = \mathbf{e}^{-2}=\frac{1}{\mathbf{e}^2}$

n° 1.4 : $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{3n}$

Solution

$\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{3n} = \lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{2}{n} \right)^{6\cdot \frac{n}{2}} =\mathbf{e}^6$

n° 1.5 : $\lim\limits_{h \to 0} \Big( 1+2h \Big) ^ {\frac{1}{h}}$

Solution

\begin{align} \lim\limits_{h \to 0} \Big( 1+2h \Big) ^ {\frac{1}{h}} = \lim\limits_{h \to 0} \left( 1+2h \right) ^ {\frac{2}{2h}} &= \left( \lim\limits_{h \to 0} \left( 1+2h \right) ^ {\frac{1}{2h}}\right) ^2 \qquad \text{changement de variable :}t=2h\\ &= \left( \lim\limits_{t \to 0} \left( 1+t \right) ^ {\frac{1}{t}}\right) ^2= \mathbf{e}^2 \end{align}

n° 1.6 : $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\frac{n+3}{n}\right)^n$

Solution

$ \lim\limits_{n \to +\infty}\left(\frac{n+3}{n}\right)^n =\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^n = \Par{\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^{\frac{n}{3}}}^{3} = \mathbf{e}^{3} $

n° 1.7 : autres limites à vérifier … \begin{align*} &\lim_{n \to \infty} \frac{e^n}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2}} = \sqrt{\mathbf{e}} \\ &\lim_{n \to \infty} \frac{e^{-n}}{\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n^2}} = \sqrt{\mathbf{e}} \\ &\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2n + 2}{2n + 1}\right)^{n+2} = \sqrt{\mathbf{e}} \\ &\lim_{n \to \infty} \left(\frac{an + a}{an + a - 1}\right)^{bn + c} = \mathbf{e}^{b/a} \quad \text{pour} \ a, b, c \in \mathbb{R} \end{align*}

Exercice 2 : Résoudre dans $\mathbb{R}$:

$\mathbf{e}\cdot\exp \left(2x\right) = \exp\left(x+2\right)+\exp \left( x \right)- \mathbf{e}$
$\exp \left(2x\right) = \exp\left(x+1\right)+\exp \left( x \right)- \mathbf{e}$
$\mathbf{e}^x+\mathbf{e}^{-x} = \dfrac{\mathbf{e}^2+1}{\mathbf{e}}$

Solution

$\mathbf{e}\cdot\mathbf{e}^{2x} = \mathbf{e}^{x+2}+\mathbf{e}^{x}- \mathbf{e} \iff \mathbf{e}\cdot\mathbf{e}^{2x} - \left(\mathbf{e}^2+1\right)\cdot \mathbf{e}^{x} + \mathbf{e} = 0 \iff \mathbf{e}^{2x} - \left(\mathbf{e}+\dfrac{1}{\mathbf{e}}\right)\cdot \mathbf{e}^{x} + 1 = 0$
On pose $y=\mathbf{e}^x$ : $y^2 - \left(\mathbf{e}+\dfrac{1}{\mathbf{e}}\right) y + 1 = 0$
Somme des racines = $\mathbf{e}+\dfrac{1}{\mathbf{e}}$ et Produit des racines = $1$
Les racines sont $\dfrac{1}{\mathbf{e}}$ et $\mathbf{e}$, par conséquent $\mathbf{e}^{x}=\dfrac{1}{\mathbf{e}}$ et $\mathbf{e}^{x}=\mathbf{e}$.
On trouve S=$\left\{-1~;~1\right\}$.
$\mathbf{e}^{2x} = \mathbf{e}^{x+1}+\mathbf{e}^{x}- \mathbf{e} \iff \mathbf{e}^{2x} - \left(\mathbf{e}+1\right) \mathbf{e}^{x} + \mathbf{e} = 0$
On pose $y=\mathbf{e}^x$ : $y^2 - \left(\mathbf{e}+1\right) y + \mathbf{e} = 0$
Somme des racines = $\mathbf{e}+1$ et Produit des racines = $\mathbf{e}$
Les racines sont $1$ et $\mathbf{e}$, par conséquent $\mathbf{e}^{x}=1$ et $\mathbf{e}^{x}=\mathbf{e}$.
On trouve S=$\left\{0~;~1\right\}$.
laissé au lecteur

Exercice 3 : Résoudre dans $\mathbb R$

$ \quad 2 \cdot \mathbf{e}^{x}-3 \cdot \mathbf{e}^{-x}=1 $
$ \quad 2\left(\mathbf{e}^{\frac{3}{2} x}-\mathbf{e}^{-\frac{3}{2} x}\right)=\mathbf{e}^{\frac{1}{2} x}+5 \mathbf{e}^{-\frac{1}{2} x}$

Solution

Domaine de définition

Exercice 4 : Déterminez les domaines des fonctions suivantes :

$ f(x) = \dfrac{\mathbf{e}^x}{\mathbf{e}^{x+1} - 1} $
$ f(x) = \sqrt{1 - \mathbf{e}^{2x}} $
$ f(x) = \dfrac{\mathbf{e}^{x-1}}{\mathbf{e}^{x+2}} $
$ f(x) = \dfrac{x}{\sqrt[4]{\mathbf{e}^{4x} - 2\mathbf{e}^{2x} + 1}} $
$ f(x) = \dfrac{\mathbf{e}^x - 1}{\mathbf{e}^{x+1} - \sqrt{\mathbf{e}}} $
$ f(x) = \dfrac{1}{\sqrt[3]{\mathbf{e}^{3x} - \mathbf{e}}} $

Exercice 5 : Calculer les dérivées des fonctions définies par les expressions suivantes

$f(x)=\mathbf{e}^x+x^2+1$
$f(x)=\dfrac{1}{\mathbf{e}^x}$
$f(x)=\dfrac{\mathbf{e}^{x}}{x}$
$f(x)=5\mathbf{e}^x+5x\mathbf{e}^x$
$f(x)=\mathbf{e}^x\cdot \sin(x)$
$f(x)=\dfrac{\mathbf{e}^x+1}{\mathbf{e}^x-1}$
$f(x)=\dfrac{3x+1-\mathbf{e}^x}{\mathbf{e}^{x}}$
$f(x)=x^3\cdot \mathbf{e}^{-x}$
$f(x)=\dfrac{x^2\mathbf{e}^{x}}{x+1}$
$f(x)=\left(\mathbf{e}^x\right)^2+\dfrac{1}{\mathbf{e}^x}$
$f(x)=\mathbf{e}^{4x+1}$
$f(x)=\mathbf{e}^{-x^2}$
$f(x)=\mathbf{e}^{\cos(x)}$
$f(x)=\mathbf{e}^{5x^3+7x+4}$
$f(x)=(x+1)\mathbf{e}^{-x+1}$
$f(x)=\dfrac{\mathbf{e}^{2x}-1}{x}$

Exercice 6 : Vrai ou faux ?

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{\mathbf{e}^x-x}=0$
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x\mathbf{e}^{-x}-x}=-\infty$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\mathbf{e}^{2x}-1}{2x}=0$
$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\left( \mathbf{e}^{\frac{1}{x^2}}-1\right)\times x^2=1$

Exercice 7 : Vrai ou faux ?

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x \cdot\mathbf{e}^{2 x}-1$

f est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{\prime}(x)=(x+1) \mathbf{e}^{2 x}$
f est croissante sur $\left[-\frac{1}{2} ;+\infty\right[$
$\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$
$\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty$
l'équation $f(x)=-1$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$.

Exercice 8 : Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\left(2 x^{2}-3 x+2\right) \mathbf{e}^{-x+2}$.

Déterminer le domaine de définition. Calculer les limites de $f$ aux bornes du domaine de définition et étudier l'existence d'asymptotes éventuelles.
Démontrer que $f^{\prime}(x)=\left(-2 x^{2}+7 x-5\right) \mathbf{e}^{-x+2}$. Établir le tableau de variation de $f$ en précisant les extrema éventuels.
Calculer la dérivée seconde, établir le tableau de concavité en indiquant les points d'inflexion éventuels.
Tracer le graphe de $f$ dans un repère orthonormé d'unité $1 \mathrm{~cm}$.

Exercice 9 : Au temps initial ($ t = 0 $), une réaction chimique impliquant la substance $ A $ a été initiée. Au cours de cette réaction, la masse $ m $ de la substance $ A $ varie selon la relation suivante : \[ m(t) = a \cdot 2^{-0.05 \cdot t} + b \quad \text{pour } t \geq 0 \] où :

$ m $ — masse de la substance $ A $ exprimée en grammes,
$ t $ — temps exprimé en secondes (à partir de $ t = 0 $),
$ a, b $ — coefficients numériques.

La masse initiale de la substance $ A $ (à $ t = 0 $) est égale à $ m_0 $ grammes.

Lorsque l'équilibre est atteint ($ t \to +\infty $), la masse de cette substance est égale à $ \frac{1}{9} $ de sa masse initiale (voir graphique ci-dessous).

Calculez après combien de secondes (à partir du début de la réaction) 87,5 % de la masse initiale de cette substance auront réagi. Montrez vos calculs.

Solution

Après $ 120 $ secondes, $ 87,5 \% $ de la masse initiale de la substance $ A $ auront réagi.

Exercice 10 : À l’instant initial ($ t = 0 $), une tasse de café chaud est placée dans une pièce où la température ambiante est constante et égale à $ 20^\circ C $. La température du café au départ est de $ 80^\circ C $.

L’évolution de la température $ T $ du café au cours du temps est décrite par l’équation suivante :

\[ T(t) = (T_p - T_z) \cdot k^{-t} + T_z, \quad \text{pour } t \geq 0 \]

où :

$ T $ est la température du café en degrés Celsius,
$ t $ est le temps en minutes écoulé depuis l’instant initial,
$ T_p $ est la température initiale du café en degrés Celsius,
$ T_z $ est la température ambiante en degrés Celsius,
$ k $ est une constante caractéristique du liquide.

Après 10 minutes, la température du café a baissé à 65°C.

Déterminez la température du café après 5 minutes supplémentaires. Donnez votre réponse en degrés Celsius, arrondie à l’unité. Présentez vos calculs.

Solution

Exercice 11 : La charge électrique stockée dans un condensateur peut être décrite par l'équation suivante : \[ Q(t) = Q_0 \cdot \beta^{-t} \quad \text{pour } t \geq 0 \] où :

$ Q_0 $ — charge initiale en millicoulombs,
$ Q $ — charge au temps $ t $ en millicoulombs,
$ \beta $ — constante positive,
$ t $ — temps en secondes.

On sait que :

À $ t = 4 \,s $, la charge est de $ 2 \, $ millicoulombs,
À $ t = 6 \,s $, la charge est de $ 18 \, $ millicoulombs.

Calculez combien de millicoulombs de charge étaient stockés dans ce condensateur au temps $ t = 5 \,s $. Montrez vos calculs.

Solution

au temps $ t = 5 \,s $, la charge dans le condensateur est de $ 6 $ millicoulombs.

Exercice 12 : La longueur en cm de beaucoup de poissons âgés de $ t $ années communément mis en vente peut être donnée par une fonction de croissance de _von Bertalanffy_ de la forme : \[ f(t) = a \cdot \left(1 - b \cdot \mathbf{e}^{-k \cdot t}\right) \] où $ a, b \in \mathbb{R} $ et $ k \in \mathbb{R}^+_0 $ sont des constantes.

Le poids en kg d'un flétan du Pacifique en fonction de sa longueur en mètre est donné par la formule : \[ p(\ell) = 10,375 \cdot \ell^3 \]

Déterminer $ a $, $ b $ et $ k $ sachant qu'à la limite un flétan atteindra une longueur de 2 m, un flétan de 10 ans a une longueur de 168,4 cm et la vitesse de croissance d'un flétan de 10 ans est de 5,69 cm/année.
Pour la suite de l'exercice, prendre $ a = 200 $, $ b = 0,956 $ et $ k = 0,18 $. Estimer l'âge et la vitesse de croissance d'un flétan dont la longueur est de 100 cm.
Calculer le poids d'un flétan de 5 ans.
Quelle est la limite de poids d'un flétan du Pacifique ?

Solution

$a=200$, $b= 0,158\cdot \mathbf{e}^{\frac{56,9}{31,6}} \approx 0,956449$ et $k = \frac{5,69}{31,6} \approx 0,180063$
On a $f(t)=200 \cdot\left(1-0,956 \cdot \mathbf{e}^{-0,18 \cdot t}\right)$ et $f^{\prime}(t)=$ vitesse de croissance au temps $t$. Il faut résoudre l'équation $f(t)=100 \Longleftrightarrow t=3,60083$. Donc le flétan atteint une longueur de $100 \mathrm{~cm}$ après $3,6$ années et sa vitesse de croissance est de $f^{\prime}(3,6) \simeq 18 \mathrm{~cm} /$ année
Il faut calculer $p\left(\frac{f(5)}{100}\right) \simeq 19~$ kg
On a $\lim\limits_{t \to +\infty} 10,375\left(\underbrace{\frac{200 \cdot\left(1-0,956 \cdot \mathbf{e}^{-0,18 \cdot t}\right)}{100}}_{\rightarrow 2}\right)^3 = 10,375 \cdot 8 = 83 \mathrm{~kg}$

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