$$\begin{align*} \log_3(9x) &= \log_3 9 + \log_3 x\\ &= \log_3 \left(3^2\right) + \log_3 x\\ &= 2 + \log_3 x \end{align*}$$

Pour tous réels $x_1,x_2\in\mathbb{R}_0^+$ et $a\in\mathbb{R}_0^+ \setminus \left\lbrace 1 \right\rbrace$

Rappel : La fonction exponentielle qui est égale à sa dérivée est appelée fonction exponentielle népérienne (ou naturelle). On note \textbf{exp} cette fonction.

La base de cette fonction exponentielle particulière est notée \textbf{e} ($\mathbf{e}$ est appelé le nombre d'Euler) et vaut approximativement $2,718$

Pour que $\exp x = \exp' x$ ou encore $\textbf{e}^x = \left(\textbf{e}^x\right)^{\prime}$, il suffit de poser $\exp_{\textbf{e}}^{\prime}(0)=1$.

$$\bbox[pink,15px] {\exp_{\textbf{e}}^{\prime}(0)=\lim\limits_{h\to 0} \frac{\mathbf{e}^h-1}{h} = 1 \implies \mathbf{e} = \lim\limits_{h\to 0} \left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}}$$ ou $$\bbox[lightyellow,5px] {\mathbf{e}=\lim\limits_{n \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n }$$

Pour tout réel $x$ strictement positif :

• Logarithme népérien : $y=\ln \left( x \right) \Longleftrightarrow x = \mathbf{e}^y$
• Pour tout réel $x>0$ : ${\mathbf{e}^{\ln(x)}=x}$
• Pour tout réel $x$ : ${\ln(\mathbf{e}^{x})=x}$
• $\ln(1)=0$ et $\ln(\mathbf{e})=1$
• Logarithme décimal : $y=\log \left( x \right) \Longleftrightarrow x = 10^y$

On peut écrire la relation $y=\log_a x$ en fonction du logarithme népérien. On applique $\ln$ aux deux membres de la relation $a^y=x$ pour obtenir $$\bbox[pink,15px] {\ln\left(a^y\right)=\ln x \iff y\cdot \ln a = \ln x \iff y=\frac{\ln x}{\ln a}}$$

Conclusion : $$\bbox[lightblue,15px] { \log_a x=\frac{\ln x}{\ln a} }$$ et aussi, $$\bbox[lightblue,15px] { {\log_a x=\frac{\log x}{\log a}=\frac{\log_b x}{\log_b a}} }$$

Exemple : $\log x= \frac{\ln x}{\ln(10)}\approx 0,4343\ln x$

La fonction logarithme népérien est définie et dérivable sur $\mathbb{R}^+_0$ et $$\bbox[pink,15px] {\forall x \in \mathbb{R}^+_0 ~:~ \left(\ln x\right)' = \dfrac{1}{x}}$$ Il suffit de dériver l'égalité ${\mathrm{e}^{\ln(x)}=x}$ membre à membre pour démontrer cette propriété (théorème de dérivation des fonctions composées).

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+_0$ puisque sa dérivée est strictement positive sur $\mathbb{R}^+_0$.

La différence principale entre les divers types de logarithmes est la constante multiplicative. Il n'y a par conséquent aucune difficulté à dériver $\log_a$.

$$\bbox[pink,15px] {\left(\log_ax\right)'=\dfrac{1}{\ln a}\cdot\dfrac{1}{ x} \quad \textrm{ou} \quad \left(\log_ax\right)'= \dfrac{1}{x\cdot \ln a } \text{(voir monotonie)}}$$

Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$. Alors la fonction $x\mapsto \ln\left(u\left(x\right)\right)$ est dérivable sur $I$ et

$$\bbox[lightblue,15px] {\left(\ln\left(u\left(x\right)\right)\right)' = \frac{u^{\prime}(x)}{u(x)}}$$

1. Limites aux bornes du domaine : $\bbox[lightgreen,5px] {\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} \ln (x)=-\infty}$ et $\bbox[lightgreen,5px] {\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \ln (x)=+\infty}$
2. Théorème de croissances comparées : $\bbox[lightgreen,5px] {\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \dfrac{\ln (x)}{x}=0}$
3. Nombre dérivé en 1 : $\bbox[lightgreen,5px] {\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\ln (1+x)}{x}=1}$