Combinaisons de manipulations de graphes

La fonction $g$ est associée à sa fonction de référence $f$ et chaque point $M'$ du graphe de $g$ provient d'une transformation du plan appliquée à un point $M$ du graphe de $f$.

Ces transformations du plan s'effectuent en deux temps: suivant l'axe des abscisses ($Ox$ - horizontalement ) puis suivant l'axe des ordonnées ($Oy$ - verticalement). L'illustration précédente peut donc se dessiner sous la forme d'un diagramme comme suit:

Ces transformations du plan s'effectuent en deux temps :

1. Horizontalement (selon l'axe $Ox$)
2. Verticalement (selon l'axe $Oy$)

La difficulté réside dans l'ordre d'application des manipulations au sein même d'une transformation.

1. Une transformation horizontale peut contenir une translation (à droite ou à gauche) et une dilatation (ou contraction) par rapport à $Oy$.
2. Une transformation verticale peut être formée d'une translation (vers le haut ou vers le bas) et d'une dilatation (ou contraction) par rapport à $Ox$.

L'ordre des transformations géométriques correspond à l'ordre des opérations algébriques effectuées de droite à gauche dans le diagramme.

Exemple : Soit $g(x) = 2 \cdot \sin(3 \cdot x + \pi) + 1$. On reconnaît immédiatement la fonction de référence $f(x) = \sin(x)$.

Procédure pour établir le diagramme :

1. Remplacer $a'$ par $x$ et $b'$ par l'expression analytique de $g(x)$ (dernière colonne).
2. Remplacer $a$ par $3 \cdot x + \pi$ et $b$ par $\sin(3 \cdot x + \pi)$ (première colonne).
3. $a'$ est obtenu via l'opération de décomposition de $3 \cdot x + \pi$ en opérations algébriques élémentaires.

Finalement,

Pour obtenir le graphe de $g$ à partir de celui de $f$, on effectuera donc les manipulations suivantes dans cet ordre :

1. Transformations horizontales :
   1. Translation horizontale de $\pi$ unités vers la gauche ($TH \longleftarrow \pi$)
   2. Contraction horizontale de facteur 3 par rapport à $Oy$ ($\rightarrow CH \leftarrow$)
2. Transformations verticales :
   1. Dilatation verticale de facteur 2 par rapport à $Ox$ ($DV \updownarrow 2$)
   2. Translation verticale de 1 unité vers le haut ($TV \uparrow 1$)

On retiendra donc que le sens des flèches du diagramme indique l'ordre d'application des manipulations à respecter.

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