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Opérations appliquées aux fonctions
On sait produire de nouvelles fonctions à partir des graphiques des fonctions de base en leur faisant subir des transformations diverses comme la translation, la déformation ou la réflexion. On peut également combiner deux fonctions avec des opérations d'addition, de multiplication et de division ou bien en faire une fonction composée en prenant les images de la première fonction comme arguments pour la seconde.
\( \newcommand{\domaine}[1]{\mbox{dom}\:#1} \)
Notations
Additionner ou multiplier de fonctions amène à créer une nouvelle fonction. Soit $f$ et $g$ deux fonctions, le résultat est une autre fonction notée $h$
- addition : $h=f+g$ avec $h(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
- multiplication : $h=f \cdot g$ avec $h(x)=(f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)$
- division : $h=\frac{f}{g}$ avec $h(x)=\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$
Exemples
Soient $f(x)=x$ et $g(x)=\frac{1}{x}$
| Opérations | ||
|---|---|---|
| Somme | $h=f+g$ | $h(x)=(f+g)(x)=x+\frac{1}{x} = \frac{x^2+1}{x}$ |
| Produit | $h=f \cdot g$ | $h(x)=(f \cdot g)(x)=x \cdot \frac{1}{x} = 1$ |
| Quotient | $h=\frac{f}{g}$ | $h(x)=\left(\frac{f}{g}\right)(x)=x^2$ |
Conditions d'existence
| Opérations | Domaine |
|---|---|
| Somme | \(\domaine{(f+g)} = \domaine{f} \cap \domaine{g}\) |
| Produit | \(\domaine{(f\cdot g)} = \domaine{f} \cap \domaine{g}\) |
| Quotient | \(\domaine{\left(\frac{f}{g}\right)} = \left(\domaine{f} \cap \domaine{g}\right)\setminus \left\{ x \in R ~|~ g(x) = 0 \right\}\) |
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