soit donc $g(x)=3x-2$ et $f(g(x))=9x^2-3x+1$

On observe que $g$ est une fonction du premier degré, tandis que $f$ est quadratique. Cela signifie qu'il y aura un terme en $x^2$ dans l'expression de $f(g(x))$. On constate également que $(3x)^2=9x^2$. La mise au carré du terme en $x$ de $g(x)$ donne le terme du second degré dans $f(x)$. L'expression analytique de $f$ s'écrit donc : $$f(x)=x^2+bx+c$$

où $b$ et $c$ sont des paramètres réels encore à déterminer.

Pour trouver ces autres coefficients on compose $f$ après $g$, $$\begin{align*} f(g(x)) &= (3x-2)^2+b(3x-2)+c \\ &= 9x^2-12x+4+b(3x-2)+c \\ &= 9x^2+(3b-12)x-2b+c+4 \end{align*}$$ Il suffit maintenant d'identifier le coefficient du terme en $x$ et celui du terme indépendant. \[ \left\{ \begin{array}{r c l} 3b-12 &=& -3\\ -2b+c+4 &=& 1 \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{r c l} b &=& 3\\ -2b+c+4 &=& 1 \end{array} \right.\iff \left\{ \begin{array}{r c l} b &=& 3\\ c &=& 3 \end{array} \right. \] On obtient donc l'expression analytique de $f(x)$, $$\boxed{f(x)=x^2+3x+3}$$