Fonction partie entière

La fonction partie entière d'un réel $x$, notée $\mathrm{E}(x)$ ou encore $\lfloor x \rfloor$, est la fonction qui associe à tout réel $x$ le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. Pour tout entier $n$, on a : $\left\lfloor x \right\rfloor=n \iff n\leq x <n+1$.

Cette fonction est définie sur $\mathbb R$ mais n'est pas continue sur $\mathbb R$; elle admet une discontinuité (dite de première espèce) pour chaque entier. En effet, $\forall n \in \mathbb Z$ : $$\lim\limits_{x \to n^-} \left\lfloor x \right\rfloor = n-1 \neq \lim\limits_{x \to n^+} \left\lfloor x \right\rfloor = \left\lfloor n \right\rfloor = n$$ Remarque : la partie entière d'un réel ne doit pas être confondue avec sa troncature. La troncature de $-1,28$ est $-1$ alors que sa partie entière est $-2$.