Plan d'étude d'une fonction

Nous disposons de tous les outils nécessaires pour mener à bien de manière complète l'étude d'une fonction réelle de la variable réelle. On rappelle ici les différentes étapes.

Les principales étapes dans l'étude d'une fonction

On recherche l'ensemble de définition de la fonction.
On essaie d'obtenir un domaine d'étude plus réduit que l'ensemble de définition en mettant en évidence d'éventuelles propriétés de périodicité, de parité ou de symétrie de la fonction.
On détermine l'ensemble de continuité de la fonction.
1. On étudie la nature des points de discontinuité et, si cela est possible, on prolonge par continuité la fonction.
On détermine l'ensemble de dérivabilité de la fonction (celui-ci peut être différent de l'ensemble de continuité).
1. On calcule la dérivée de la fonction en tout point où elle est dérivable.
2. On examine, s'il y a lieu, la dérivabilité à gauche ou à droite.
On étudie le signe de la dérivée afin d'établir les variations de la fonction.
1. On calcule les limites de la fonction et de sa dérivée aux bornes de l'intervalle d'étude.
2. On présente ces résultats dans un tableau de variation.
On précise la nature des branches infinies et on recherche l'équation d'éventuelles asymptotes.
On étudie, s'il y a lieu, le signe de la dérivée seconde de la fonction afin de déterminer les points d'inflexion éventuels.
On calcule les coordonnées des points remarquables : intersection de la représentation graphique de la fonction avec les axes de coordonnées, avec les asymptotes, etc.
On trace la représentation graphique de la fonction en mettant en évidence tous les éléments utiles au tracé : tangentes aux points remarquables (points anguleux, points d'inflexion, etc), asymptotes, etc.