Exercices sur les fonctions réciproques

Lien vers la théorie $ \def\R{{\mathbb R}} \def\bold#1{{\bf #1}} \newcommand{\dom}[1]{\textbf{dom}\,#1} \newcommand{\ima}[1]{\textbf{im}\,#1} \newcommand{\intf}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\into}[2]{\left] #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intfo}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intof}[2]{\left] #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\rlf}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{\Par}[1]{\left( #1 \right)} \renewcommand{\Re}[1]{\textrm{Re}\Par{#1}} \renewcommand{\Im}[1]{\textrm{Im}\Par{#1}} \newcommand{\ii}{{\mathbf{i}}} $

Exercice 1 : Domaines - images : Indiquer le domaine de définition $\text{dom} f$ et l'ensemble image $\text{im} f$ des fonctions suivantes.

$f : x \mapsto \dfrac{1}{x-3}$
$f : x \mapsto \left(x-3\right)^2$
$f : x \mapsto x^2-3$
$f : x \mapsto x^2-2x$
$f : x \mapsto 4x^2-x$
$f : x \mapsto -x^2+3x-2$
$f : x \mapsto |2x-4|$
$f : x \mapsto 2|x|-4$
$f : x \mapsto 3-|2-x|$
$f : x \mapsto \sqrt{x-3}-2$
$f : x \mapsto \sqrt{1-x}$
$f : x \mapsto 1-\sqrt{-x}$
$f : x \mapsto -\sqrt{|x-3|}$
$f : x \mapsto \sqrt{25-x^2}-3$
$f : x \mapsto \sin{x}+1$
$f : x \mapsto 1-\cos{x}$
$f : x \mapsto 2\sin{x}-3$
$f : x \mapsto 1-\cos^2{x}$

Solution

$\text{dom} f = \mathbb{R} \setminus\{3\} $ et $\text{im} f = \mathbb{R}_0 $
$\text{dom} f = \mathbb{R}$ et $\text{im} f = \mathbb{R}^+ $
$\text{dom} f = \mathbb{R} $ et $\text{im} f = [{-3};{+\infty}[ $
$\text{dom} f = \mathbb{R} $ et $\text{im} f = [{-1};{+\infty}[ $
$\text{dom} f = \mathbb{R} $ et $\text{im} f = [{-\tfrac1{16}};{+\infty}[ $
$\text{dom} f = \mathbb{R} $ et $\text{im} f = ]{-\infty};{\tfrac{1}{4}}] $
$\text{dom} f = \mathbb{R} $ et $\text{im} f = \mathbb{R}^+ $
$\text{dom} f = \mathbb{R} $ et $\text{im} f = [{-4};{+\infty}[ $
$\text{dom} f = \mathbb{R} $ et $\text{im} f = ]{-\infty};{3}] $
$\text{dom} f = [{3};{+\infty}[ $ et $\text{im} f = [{-2};{+\infty}[ $
$\text{dom} f = ]{-\infty};{1}] $ et $\text{im} f = \mathbb{R}^+ $
$\text{dom} f = \mathbb{R}^- $ et $\text{im} f = ]{-\infty};{1}]$
$\text{dom} f = \mathbb{R} $ et $\text{im} f = \mathbb{R}^- $
$\text{dom} f = [{-5};{5}] $ et $\text{im} f = [{-3};{2}] $
$\text{dom} f = \mathbb{R}$ et $\text{im} f = [{0};{2}] $
$\text{dom} f = \mathbb{R}$ et $\text{im} f = [{0};{2}] $
$\text{dom} f = \mathbb{R}$ et $\text{im} f = [{-5};{-1}] $
$\text{dom} f = \mathbb{R}$ et $\text{im} f = [{0};{1}] $

Rechercher l'ensemble image d'une fonction via une méthode analytique

14. Pour $f : x \mapsto \sqrt{25-x^2}-3$ : Pour tout réel $x$ vérifiant $-5\leq x \leq 5$ on a \[ \begin{aligned} 0\leq x^2\leq 25 &\iff -25\leq -x^2\leq 0 \\ &\iff 0\leq 25-x^2\leq 25\\ &\iff 0\leq \sqrt{25-x^2}\leq 5\\ &\iff -3\leq \sqrt{25-x^2}-3\leq 2 \iff -3\leq f(x)\leq 2\\ &\implies \text{im} f = [{-3};{2}] \end{aligned} \]

15. Pour $f : x \mapsto \sin{x}+1$: Pour tout réel $x\in\mathbb{R}$ on a \[ \begin{aligned} -1\leq \sin x\leq 1 &\iff 0\leq \sin x + 1\leq 2 \\ &\implies \text{im} f = [0,2]. \end{aligned} \]

17. Pour $f : x \mapsto 2\sin{x}-3$: Pour tout réel $x\in\mathbb{R}$ on a \[ \begin{aligned} -1\leq \sin x\leq 1 &\iff -2\leq 2\sin x \leq 2 \\ &\iff -5\leq 2\sin x -3\leq -1 \\ &\implies \text{im} f = [-5,-1]. \end{aligned} \]

18. Pour $f : x \mapsto 1-\cos^2{x}$: Pour tout réel $x\in\mathbb{R}$ on a \[ \begin{aligned} -1\leq \cos x\leq 1 &\iff 0\leq \cos^2{x}\leq 1 \\ &\iff 0\leq 1-\cos^2{x}\leq 1 \implies \text{im} f = [0,1]. \end{aligned} \]

Exercice 2 : Image réciproque d'un réel : Soit $f(x)=\dfrac{2x+7}{5}$. Trouver $f^{-1}(3)$.

Solution

On cherche un réel $x$ vérifiant $f(x)=3$. \[\dfrac{2x+7}{5}=3 \iff 2x+7 = 15 \iff x=4\]

D'où, $f(4)=3$ ce qui signifie : $f^{-1}(3)=4$.

La clé pour trouver une formule pour $f^{-1}$, en supposant qu'il en existe une, est de se rappeler que les variables $x$ et $y$ permutent leur rôle dans l'expression de $f$ et $f^{-1}$

Exercice 3 : Etablir l'expression d'une réciproque : Les fonctions $f : I \to \mathbb{R}$ suivantes sont continues et injectives sur l'intervalle $I$ indiqué, elles admettent donc une réciproque fonctionnelle $f^{-1}$ (fonction réciproque). Rechercher l'expression analytique de $f^{-1}$.

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ~;~ x \mapsto 2x-3$
$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ~;~ x \mapsto mx+p$
$f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} ~;~ x \mapsto 4-x^2$
$f : \mathbb{R}^- \to \mathbb{R} ~;~ x \mapsto 4-x^2$
$f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} ~;~ x \mapsto \sqrt{2x}$
$f : [{2};{+\infty}[ \to \mathbb{R} ~;~ x \mapsto \sqrt{x-2}+3$
$f : \mathbb{R}^-_0 \to \mathbb{R} ~;~ x \mapsto \dfrac{1}{2x}$
$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ~;~ x \mapsto \sqrt[3]{x}+2$
$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ~;~ x \mapsto \sqrt[3]{x+2}$
$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ~;~ x \mapsto \sqrt[3]{mx+p}+q$ avec $m<0$ et $p,q\neq 0$

Solutions

La réciproque d'une fonction $f$ s'obtient en permutant les variables $x$ et de $y$ dans l'expression $y=f(x)$, puis en isolant $y$.

$y = 2x-3 \leftrightarrows x = 2y-3 \iff x+3=2y \iff y=\frac{x+3}{2}$ et donc $f^{-1}(x) = \frac{x+3}{2}$
$y = mx+p \leftrightarrows x = my+p \iff x-p=my \iff y=\frac{x-p}{m}$ et donc$f^{-1}(x) = \frac{x-p}{m}$
$y = 4-x^2 \left(\text{ avec }x\geq 0\right) \leftrightarrows x = 4-y^2 \left(\text{ avec }y\geq 0\right)\iff y^2=4-x \iff y=\begin{cases}y=\sqrt{4-x} & \left(\geq 0\right) \\y=-\sqrt{4-x}& \left(\leq 0\right)\end{cases}$
comme $y\geq 0$, on a $f^{-1}(x) =\sqrt{4-x}$
$f^{-1}(x) =-\sqrt{4-x}$
$\text{im} f = \mathbb{R}^+$ et $f^{-1} : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ ~;~ x \mapsto \frac{x^2}{2}$ (pour être complet, indiquer domaine et ens. images)
$\text{im} f = [{3};{+\infty}[$ et $f^{-1} : [{3};{+\infty}[ \to [{2};{+\infty}[ ~;~ x \mapsto (x-3)^2+2$ (idem)
$f^{-1}(x) =\frac{1}{2x}$
$f^{-1}(x) = (x-2)^3$
$f^{-1}(x) = x^3-2$
$f^{-1}(x) = \frac{(x-q)^3-p}{m}$

Exercice 4 : Partant du graphe de $ x \mapsto \sqrt{x} $, représente la fonction $ f : x \mapsto 3 - \sqrt{x + 1} $. Ajoute ensuite le graphe de sa fonction réciproque.

Solution

Exercice 5 : Soit $f(x) = 4-\sqrt{2-x}$.

Montrer que $f$ est monotone
f étant continue, elle admet une réciproque $f^{-1}$ fonctionnelle. Donner
1. $\text{dom} f^{-1}$
2. $\text{Im} f^{-1}$
3. son graphe
4. son expression analytique

Solution

Exercice 6 : Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \; ; \; x \mapsto \dfrac{2}{\sqrt{3x-1}} $.

Etudier les variations de $f$ (trouver $f^{\prime}$, tableau des variations)
$f$ est-elle injective sur son domaine de définition ? Pourquoi ?
Quelle est l'expression analytique de $f^{-1}$ ?
Préciser $\dom{f^{-1}}$ et $\ima{f^{-1}}$.

Solution

Exercice 7 : Soit $f(x)=x^2-4x+3$ définie sur $I=]-\infty,2]$. Montrer que $f$ admet une réciproque fonctionnelle puis déterminer son expression analytique, son domaine de définition et son ensemble image.

Solution

$f$ est donc continue car c'est un polynôme du second degré
$f$ est strictement décroissante car $\forall x\in]-\infty,2[$, $f'(x)=2x-4<0$

$f$ est continue et monotone sur $I=]-\infty,2]$, elle est donc injective sur $I$. Étant injective, elle admet une réciproque fonctionnelle.

remarque : $f$ est une bijection de $]-\infty,2]$ sur $f(]-\infty,2])=[f(2),\underset{-\infty}{\mbox{lim}}\;f[=[-1,+\infty[=J$. On a : $f:~ ]-\infty,2] \to [-1,+\infty[ ~;~ x \mapsto x^2-4x+3$ est une fonction bijective.

Déterminons $f^{-1}$. Soit $y\in[-1,+\infty[$ et $x\in]-\infty,2]$. $$y=f(x) \iff y=x^2-4x+3 \iff y+1 = x^2-4x+4 \iff y+1 = \left(x-2\right)^2 $$

Donc, $x=2+\sqrt{y+1}$ ou $x=2-\sqrt{y+1}$. Enfin, $x\in]-\infty,2]$ et donc, $x=2-\sqrt{y+1}$.

En résumé, $\forall x\in]-\infty,2],\;\forall y\in[-1,+\infty[,\;y=f(x)\Leftrightarrow x=2-\sqrt{y+1}$

Finalement, $f^{-1}:~ [-1,+\infty[ \to ]-\infty,2] ~;~ x \mapsto 2-\sqrt{y+1}$

Exercice 8 : Restreindre le domaine d'existence - Rendre injectif : Soit $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} ~;~ x\mapsto x^2-6x+7 $.

Indique $\textbf{dom} f $ et $\textbf{im} f $. La fonction est continue sur son domaine mais est-elle injective ? Justifie.
Sur quel intervalle doit-on restreindre $ f $ afin qu'elle soit injective ? Deux intervalles sont possibles, nomme-les $ I_1 $ et $ I_2 $.
Recherche l'image directe de $ I_1 $ et $ I_2 $ par $ f $. On notera $ J_1=f\left ( I_1 \right ) $ et $ J_2=f\left ( I_2 \right ) $
$ f_1:I_1\to J_1 ~;~ x\mapsto x^2-6x+7 $ et $ f_2:I_2\to J_2 ~;~ x\mapsto x^2-6x+7 $ sont deux fonctions bijectives, chacune d'elles admet donc une réciproque fonctionnelle.
Recherche leur expression analytique respective $ f_1^{-1} $ et $ f_2^{-1} $ en indiquant chaque fois leur espace de départ et d'arrivée (écrire : “nom de la fonction” : “esp. de départ” $ \to $ “esp. d'arrivée” ; $ x\mapsto $ “expr. analytique”).

Une fonction $ f: I\to J $ est dite bijective entre $ I $ et $ J $, et appelée une bijection de $ I $ sur $ J $, si elle est à la fois injective et surjective sur $ J $ (c'est-à-dire, si tout élément de $ J $ possède un unique antécédent par $ f $). → voir Injections, surjections, bijections

Solution

$ \textbf{dom} f =\mathbb{R} $ et $ \textbf{im} f = ]-2,+\infty[ $ (c'est une parabole).
$ f'(x)=2x-6 $ : la fonction décroit sur l'intervalle $ ]-\infty,3] $ et puis elle croît sur $ ]3,+\infty[ $. C'est une fonction continue non monotone donc non injective.
$ I_1= ]-\infty,3] $ et $ I_2= ]3,+\infty[ $.
$ J_1=f\left ( I_1 \right )= [-2,+\infty[ $ et $ J_2=f\left ( I_2 \right )= [-2,+\infty[ $
$ x=y^2-6y+7 \iff x+9 = (y-3)^2+7 \iff y=3\pm\sqrt{x+2} $

$ f_1^{-1}: [-2,+\infty[ \to ]-\infty,3] ~;~ x\mapsto 3-\sqrt{x+2} $
et $ f_2^{-1}: [-2,+\infty[ \to ]3,+\infty[ ~;~ x\mapsto 3+\sqrt{x+2} $

Exercice 9 : Restriction et expressions réciproques : Mêmes questions pour chacune des fonctions suivantes :

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} ~;~ x\mapsto x^2-4x+5$
$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} ~;~ x\mapsto -x^2+4x-3$
$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} ~;~ x\mapsto \left ( x-3 \right )\left ( 2x-1 \right )$
$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} ~;~ x\mapsto x\left ( 2-x \right )$

Solution

Exercice 10 : Critère d'injectivité : Soit $m\in\mathbb{R}$ et $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ~;~ x \mapsto x^5-(4-m)x^3-5$. Déterminer les valeurs possibles de $m$ pour que $f$ soit injective.

Solution

Si $f$ est une fonction continue strictement monotone d\'efinie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, elle est injective (et admet donc une fonction r\'eciproque).

Ici $f$ est un polynôme du 5ème degré, elle est donc continue sur $\R$.

On étudie maintenant la monotonie de $f$, cad sa croissance/décroissance, par l'étude du signe de sa dérivée première : \[f'(x) = 5x^4-3\Par{4-m}x^2 = x^2\Par{5x^2+3m-12}\]

Trois cas :

Soit $m=4$ : alors $f'(x) = 5x^4$. Comme $x^4\geq 0$ pour tout réel $x$, $f'\geq 0$ aussi et $f$ est strictement croissante sur $\R$. $f$ est injective.
Soit $m>4$ : alors ${5x^2+3m-12}>0$ pour tout réel $x$ et $f'\geq 0$ puisque son signe dépend de celui de $x^2$. $f$ est strictement croissante sur $\R$. $f$ est injective.
Soit $m<4$ : alors ${5x^2+3m-12}$ change de signe car cette expression du second degré possède deux racines (opposées). $f'$ change donc signe, $f$ n'est pas monotone et $f$ n'est pas injective.

Conclusion : $f$ est injective pour tout réel $m$ vérifiant $m\geq 4$.

Exercice 11 : Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ~;~ x \mapsto 3x^3+mx^2+2x+7$ où $m \in \mathbb{R}$ est un paramètre réel.

A quel ensemble de valeurs réelles $m$ doit-il appartenir pour que $f$ admette une réciproque fonctionnelle ?
Trouver $f^{-1}(7)$ sans chercher cette réciproque.

Solution

-1- $f'(x) = 9x^2+2mx+2$ et ${\rho}=4\Par{m^2-18}$ \begin{align} f^{-1} \textrm{ fonction} &\iff f \textrm{ continue et monotone sur } \mathbb{R}\\ &\iff f \textrm{ continue et } f' \textrm{ toujours de même signe } \forall x \in \R \quad \textrm{(ou nulle ponctuellement)}\\ &\iff f \textrm{ continue et } m^2-18\leq 0\\ &\iff m\in \intf{-3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} \end{align}

$f$ admet une réciproque fonctionnelle pour tout $m\in \intf{-3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$

-2- $y=f^{-1}(7) \iff f(y)=7 \iff 3y^3+my^2+2y=0$

$3y^3+my^2+2y=0\iff \begin{cases}y=0\\3y^2+my+2=0\end{cases}$

or $3y^2+my+2\neq 0$ pour tout $y\in \R$ car $\rho=m^2-24<0$ $\left(\textrm{vu que } m\in \intf{-3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}\right)$

donc $f^{-1}(7)=0$

Exercice 12 : Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; x\mapsto \dfrac{x}{1+\left| x\right| }$

Tracer $\mathcal{C}_{f}.$
Vérifier que $f$ est injective sur $\mathbb{R}$, et définir la fonction $f^{-1}$, réciproque de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Solution

Exercice 13 : Soit la fonction $f :~ ] 2,+\infty[ \to \R ~;~ x \mapsto \sqrt{\frac{x}{x-2}}$.

Cette fonction est continue. Montrer qu'elle est aussi monotone. Que peut-on en conclure ?
Montrer que $\ima{f} = ] 1,+\infty[$. Déterminer $\dom{f^{-1}}$.
Rechercher l'expression analytique de $f^{-1}$.

Solution

Exercice 14 : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ ; on suppose que $f$ est une fonction continue, dérivable et injective sur $I$ :

on a $1\in I$, $f(1)=3$ et $f'(1)=2$ : que vaut $\left(f^{-1}\right)'(3)$ ?
on a $2\in I$, $f\left(2\right)=1$ et $f^{\prime}\left(2\right)=3$ : que vaut $\left(f^{-1}\right)^{\prime}\left(1\right)$ ?
on a $1\in I$, $f\left(1\right)=2$ et $f^{\prime}\left(1\right)=\frac13$ : que vaut $\left(f^{-1}\right)^{\prime}\left(2\right)$
on a $2\in I$, $f(2)=5$ et $\left(f^{-1}\right)'(5)=-2$ : que vaut $f'(2)$ ?

Solution

$\left(f^{-1}\right)'(3) = \dfrac{1}{f'\left(f^{-1}\left(3\right)\right)}= \dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{2}$
Solution
Solution
$\dfrac{1}{f'\left(f^{-1}\left(5\right)\right)}=-2 \iff \dfrac{1}{f'(2)}=-2$ et $f'(2)=-\dfrac{1}{2}$

Exercice 15 : Que vaut $\left(f^{-1}\right)'(1)$ si $f(x)=x + \dfrac{1}{x^2+1}$

Solution

$ x = f^{-1}(1) \iff f(x) = 1 \iff x + \dfrac{1}{x^2+1} = 1 \iff \dfrac{x^3+x+1}{x^2+1}=1 \iff x^3 + x + 1 = x^2 + 1. $

donc $ x = f^{-1}(1) \iff x=0$ ou $x^2 -x+1 = 0$.

or le réalisant de $ x^2 -x+1 $ est négatif ($ \rho = 1-4 = -3 <0 $).

par conséquent, $ f^{-1}(1) = 0 $

de plus $ f'(x) = 1 + \frac{-2x}{(x^2+1)^2} $ et $ \left(f^{-1}\right)'(1) = \frac{1}{f'\circ f^{-1}(1)} = \frac{1}{f'(0)} $, soit $ \left(f^{-1}\right)'(1) = 1$