Fonctions usuelles

Fonction identité $f : x \mapsto x$

1. $\text{dom}\; f = \mathbb{R}$, $\text{im}\; f = \mathbb{R}$, racine(s) : $x=0$
2. $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$
3. $f$ est une fonction impaire car pour tout $x$ réel, $f(-x) = -x = -f(x)$

Fonction carré $f : x \mapsto x^2$

1. $\text{dom}\; f = \mathbb{R}$, $\text{im}\; f = \mathbb{R}^+$, racine(s) : $x=0$
2. $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$, ce qui signifie que deux réels positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
3. $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$, ce qui signifie que deux réels négatifs sont rangés dans l'ordre contraire de leurs carrés.
4. $f$ est une fonction paire car pour tout $x$ réel, $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$

Fonction cube $f : x \mapsto x^3$

1. $\text{dom}\; f = \mathbb{R}$, $\text{im}\; f = \mathbb{R}$, racine(s) : $x=0$
2. $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, ce qui signifie que deux réels sont rangés dans le même ordre que leurs cubes.
3. $f$ est une fonction impaire car pour tout $x$ réel, $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$

Fonction inverse $\displaystyle x \mapsto \frac{1}{x}$

1. $\text{dom}\; f = \mathbb{R}_0$, $\text{im}\; f = \mathbb{R}_0$, racine(s) : aucune
2. $f$ est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$, ce qui signifie que deux réels strictement positifs sont rangés dans l'ordre inverse de leurs inverses.
3. $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$, ce qui signifie que deux réels strictement négatifs sont rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses.
4. $f$ est une fonction impaire car pour tout $x$ réel non nul, $f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$

Fonction racine carrée $f : x \mapsto \sqrt{x}$

1. $\text{dom}\; f = \mathbb{R}^+$, $\text{im}\; f = \mathbb{R}^+$, racine(s) : $x=0$
2. $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$, ce qui signifie que deux réels positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées.
3. $f$ est une fonction quelconque, elle n'est ni paire, ni impaire (son domaine n'est pas symétrique par rapport à l'origine)

Fonction racine cubique $f : x \mapsto \sqrt[3]{x}$

1. $\text{dom}\; f = \mathbb{R}$, $\text{im}\; f = \mathbb{R}$, racine(s) : $x=0$
2. $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$
3. $f$ est une fonction impaire car pour tout $x$ réel, $f(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -f(x)$

Fonction valeur absolue $f : x \mapsto |x|$

1. $\text{dom}\; f = \mathbb{R}$, $\text{im}\; f = \mathbb{R}^+$, racine(s) : $x=0$
2. $f$ est une fonction affine par morceaux.
3. $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$
4. $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$
5. $f$ est une fonction paire car pour tout $x$ réel, $f(-x) = |-x| = |x| = f(x)$

Fonction cosinus $f : x \mapsto \cos(x)$

1. $\text{dom}\; f = \mathbb{R}$, $\text{im}\; f = [-1;1]$, racine(s) : $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
2. La fonction cosinus est périodique, de période $2\pi$. On limite l'étude de cette fonction à un intervalle de longueur $2\pi$, puisque $\forall x \in \mathbb{R}$, $\cos(x + 2\pi) = \cos x$
3. La fonction cosinus est une fonction paire (son domaine de définition - $\mathbb{R}$ - est symétrique par rapport à 0) car $\forall x \in \mathbb{R}$, $\cos(-x) = \cos x$. Son graphe admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.
4. Variations : la fonction cosinus est décroissante sur $[0;\pi]$ et croissante sur $[\pi;2\pi]$

Fonction sinus $f : x \mapsto \sin(x)$

1. $\text{dom}\; f = \mathbb{R}$, $\text{im}\; f = [-1;1]$, racine(s) : $x = 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
2. La fonction sinus est périodique, de période $2\pi$. On limite l'étude de cette fonction à un intervalle de longueur $2\pi$, puisque $\forall x \in \mathbb{R}$, $\sin(x + 2\pi) = \sin x$
3. La fonction sinus est une fonction impaire (son domaine de définition - $\mathbb{R}$ - est symétrique par rapport à 0) car $\forall x \in \mathbb{R}$, $\sin(-x) = -\sin x$. Son graphe admet l'origine comme centre de symétrie.
4. Variations : la fonction sinus est croissante sur $[0;\frac{\pi}{2}]$, puis décroissante sur $[\frac{\pi}{2};\pi]$

Fonction tangente $f : x \mapsto \tan(x)$

1. $\text{dom}\; f = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$, $\text{im}\; f = \mathbb{R}$, racine(s) : $x = k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
2. La fonction tangente est périodique, de période $\pi$. On limite l'étude de cette fonction à un intervalle de longueur $\pi$, puisque $\forall x \in \mathbb{R}$, $\tan(x + \pi) = \tan x$
3. La fonction tangente est une fonction impaire (son domaine de définition est symétrique par rapport à 0) car $\forall x \in \mathbb{R}$, $\tan(-x) = -\tan x$. Son graphe admet l'origine comme centre de symétrie.
4. Variations : la fonction tangente est croissante sur les intervalles $]-\frac{\pi}{2} + k\pi ; \frac{\pi}{2} + k\pi[$ pour $k \in \mathbb{Z}$