Fonction numérique
Relation fonctionnelle
On discute ici des concepts fondamentaux relatifs aux fonctions mathématiques. Une fonction f:E⊂R→F⊂R est une relation définissant une correspondance entre les éléments d'un espace de départ E à un espace d'arrivée F, tous deux sous-ensembles des nombres réels. Chaque élément x dans E est lié à au plus un élément y dans F par cette fonction.
Dans ce contexte, y est connu comme l'image de x par la fonction f, et inversement, x est l'antécédent de y par la fonction f.
Une fonction numérique d'une variable réelle est une relation qui à chaque réel fait correspondre au plus un réel f:R⟶Rx⟼f(x) Lorsqu'on écrit f:R→R ; x↦f(x) ou plus simplement f, on considère la fonction f toute entière avec son domaine, son ensemble image, ses variations, etc.; elle ne peut se lire sur un axe comme un simple nombre.
Vocabulaire
Si f est une fonction numérique alors :
- L'ensemble des réels qui ont une image par f s'appelle «l'ensemble de définition» de f. On le note dom f ;
- Tout réel x de dom f a une image et une seule par la fonction f.
- Si y est l'image de x, on dit que x est un antécédent de y par f (remarquez l'article défini pour l'image et indéfini dans un antécédent)
- Un réel y peut n'admettre aucun antécédent, ou un seul antécédent, ou plusieurs antécédents
- L'ensemble de définition peut également être donné par l'énoncé : «Soit la fonction f, définie pour tout x>0 par …».
Il peut exister des contraintes dans l'énoncé qui font que x prend des valeurs particulières.
Soit f une fonction numérique, et dom f son ensemble de définition. Dans le plan rapporté au repère cartésien, on appelle représentation graphique ou courbe représentative de la fonction f, l'ensemble Gf des points M de coordonnées (x,f(x)), où x appartient à dom f.
Cette courbe, notée Gf pour graphe de la fonction, a pour équation (On l'appelle équation cartésienne) y=f(x).
- f le nom de la fonction numérique et f(x) son expression analytique.
- Gf le graphe de la fonction ou sa courbe représentative;
- dom f son ensemble de définition;
- Im f l'ensemble de ses images.
