Exercices - Calcul Intégral

Exercice 1 : Détermination de primitives, primitives avec substitution, primitives avec condition initiale, calculs d'intégrales indéfinies, opérations sur l'intégrande, applications physiques.

→ Exercices du cours au format PDF.

Exercice 2 : Trouve $A\in\mathbb R$ pour que \[\int_1^2 \frac{4}{x^3}+Ax \;\text{d}x=12\]

Exercice 3 : Techniques de calcul

Calculer $\displaystyle \int x\cdot \sqrt{1+x} \ \mathrm{d}x$ et $\displaystyle \int x\cdot \sqrt{1+x^2} \ \mathrm{d}x$

Solution

1. $\displaystyle \int x \cdot \sqrt{1+x} \, \mathrm{d}x = \frac{2}{5} (1+x)^{5/2} - \frac{2}{3} (1+x)^{3/2} + C$

2. $\displaystyle \int x \cdot \sqrt{1+x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{3} (1+x^2)^{3/2} + C$

Exercice 4 : Techniques de calcul

Intégrez par parties : $\displaystyle \int \frac{\ln{x}}{x^2} \, dx.$
Intégrez par parties : $\displaystyle \int \sin{(\ln{x})} \, dx.$
Une approche serait de prendre $u=\sin{(\ln{x})}$ et $dv=dx$ ; vous devrez intégrer par parties deux fois.
Calculez $\displaystyle \int \sin^3{x} \, dx.$
Calculez $\displaystyle \int \sqrt{4 - x^2} \, dx.$

Exercice 5 : Techniques de calcul Calculer :

$$\int \sin^{-1}{x} \, dx, \qquad \int x\sec^2 x \, dx, \qquad \int_0^2 \ln{(x^2+1)} \, dx.$$
$$\int \frac{\ln{x}}{\sqrt{x}} \, dx, \qquad \int x^3 e^{x^2} \, dx, \qquad \int_1^e x^2 \ln{x} \, dx.$$
$$\int \sin^5{x} \, dx.$$
$$\int \sin^3{x}\cos^2{x} \, dx.$$
$$\int \frac {dx}{(1 - x^2)^{3/2}}, \qquad \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4x^2 - 9}}, \qquad \int x^3 \sqrt{5 - x^2} \, dx.$$

Exercice 6 : Calculs d'aires

Soit $f(x) = \dfrac{\ln^2 x}{x}$ dont le graphe est donné ci-dessous (esquisse). Calculer l'aire du domaine $A_1$, qui correspond à l'aire sous la courbe de $f(x)$ sur un intervalle fini.

source latex de l'image

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\begin{tikzpicture}
\tkzInit[xmin=-.1,xmax= 4,xstep=1,ymin=-.5,ymax=3,ystep=1]
\tkzSetUpAxis[line width=1pt,tickwd=0pt,ticka=0pt,tickb=0pt]
\tkzDrawX[label=]
\tkzDrawY[xshift=4pt,label=]
\tkzFct[very thick, domain = 0.1:1]{2*log(x)*log(x)/x}
\tkzFct[very thick, domain = 1:2]{1.5*(x-1)**2*(x-3)**2}
\tkzDrawArea[pattern=north west lines,domain = 1:2]
\tkzFct[very thick, domain = 2:3.8]{1.5*exp(-(x-2)**2)}
%\tkzDrawArea[pattern=north east lines,domain = 2:3.8]
\tkzVLine[style = dashed,thin]{2}
\tkzDrawTangentLine[-,draw](2)
\tkzText[](1,3){\scriptsize $y=\frac{\ln^2 x}{x}$}
\tkzText[fill=white,inner sep=0pt](1.7,.5){\scriptsize $A_1$}
%\tkzText[fill=white,inner sep=0pt](2.5,.5){\scriptsize $A_2$}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Solution :

recherche des bornes d'intégration :

$f(x)=0\iff x=1$
$f'(x)=0\iff \frac{(2-\ln x)\ln x}{x^2}=0 \iff x=\mathbf{e}^2$ ou $x=1$

calcul de l'aire : $\displaystyle A_1 = \int_1^{\mathbf{e}^2} \frac{\ln^2 x}{x} \; \text{d}x = \frac{\ln^3 x}{3} \bigg|_1^{\mathbf{e}^2} = \frac{8}{3}$

Exercice 7 : Si la droite d'équation $ x = b $ divise l'aire sous la courbe $ y = \frac{1}{x^2} $, pour $ 1 \leq x \leq 9 $, en deux régions de même aire, alors $ b $ est égal à …

Solution :

$b=\frac{9}{5}$

Exercice 8 : Trouvez l'aire sous le graphe de \[f(t)=\frac{t}{\left(1+t^{2}\right)^{a}}\] entre $t=0$ et $t=x$, où $a > 0$ et $a \neq 1$ est fixé, et évaluez la limite lorsque $x \to +\infty$.

Solution :

$$\begin{aligned} \int_0^x \frac{t}{\left(1+t^{2}\right)^{a}} \; \textrm{d}t &= \frac12 \int_0^x {\left(1+t^{2}\right)^{-a}} \; \textrm{d}\left(1+t^2\right) \\ &= \frac12 \int_1^{1+x^2} u^{-a} \; \textrm{d}u \\ &= \frac{1}{2-2a} \cdot u^{1-a} \; \Bigg|_1^{1+x^2} \\ %&= \frac{1}{2-2a} \cdot \left[\left(1+x^2\right)^{1-a} - 1\right] \\ &= \frac{1}{2-2a} \cdot \left(\frac{1}{\left(1+x^2\right)^{a-1}} - 1\right) \\ \end{aligned}$$

Exercice 9 : Équations et intégrales

Résoudre dans $ \mathbb R$

$\displaystyle \int_{1}^{m^{2}} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=8 $
$\displaystyle \int_{\mathbf{e}^{2}}^{x} \frac{1}{3 t} \mathrm{~d} t=1 $
$\displaystyle \int_{0}^{x}\left(\tan ^{3}(t)+\tan (t)\right) \mathrm{d} t=\frac{3}{2} $

Solution :

en construction

Exercice 10 : Intégrales avec paramètres

Soit $\alpha \in \mathbb{R}_0$. Que vaut $\alpha$ sachant que \[\int_0^1 \frac{\mathbf{e}^{\alpha x}}{1+\mathbf{e}^{\alpha x}} \ \mathrm{d}x = \frac{1}{\alpha}\]

Solution :

$\alpha = \ln(2\mathrm{e}) -1$

Exercice 11 : Volumes de révolution

Calculer le volume de révolution engendré par une ellipse centrée en $(0,0)$ de grand axe $2a$ et de petit axe $2b$ qui tourne autour de l'axe des abscisses.

Solution :

en construction

Rappel

$$ \mu = f_{\text{moy}} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x $$ voir Théorie complète

Exercice 12 : Déterminez $ f_{\text{moy}} $ pour la fonction sur l'intervalle donné.

n° 12.1 : $ f(x) = 8x^4 - 7x^3 + 2 $ sur $ [-2, 1] $

Solution :

$$ \mu = f_{\text{moy}} = \frac{567}{20} $$

n° 12.2 : $ f(x) = (4 - x) e^{x^2 - 8x} $ sur $ [1, 4] $

Solution :

$$ \mu = f_{\text{moy}} = \frac{e^9 - 1}{6e^{16}} $$

n° 12.3 : $ f(x) = 6x - \frac{4x}{x^2 + 1} $ sur $ [-3, 0] $

Solution :

$$ \mu = f_{\text{moy}} = \frac{-27 + 2 \ln(10)}{3} $$

n° 12.4 : $ f(x) = \cos(3x) [2 + \sin(3x)]^4 $ sur $ \left[0, \frac{\pi}{6}\right] $

Solution :

$$ \mu = f_{\text{moy}} = \frac{422}{5\pi} $$

Exercice 13 : Trouvez $ f_{\text{moy}} $ pour la fonction sur l'intervalle donné et déterminez la valeur de $ c $ dans l'intervalle donné pour laquelle $ f(c) = f_{\text{moy}} $.

n° 13.1 : $ f(x) = 10 - 4x - 6x^2 $ sur $ [2, 6] $

Solution :

$$ \mu = f_{\text{moy}} = -110 $$

$ f(c) = -110 \iff 10 - 4c - 6c^2 = -110 \iff c_1 = -\frac{1 + \sqrt{181}}{3}, \, c_2 = \frac{\sqrt{181} - 1}{3} $

Solution: $ c_2 = \frac{\sqrt{181} - 1}{3} \approx 4.1512 $

n° 13.2 : $ f(x) = 7x^2 + 2x - 3 $ sur $ [-1, 1] $

Solution :

$$ \mu = f_{\text{moy}} = -\frac{2}{3} $$

$ f(c) = -\frac{2}{3} \iff 7c^2 + 2c - 3 = -\frac{2}{3} \iff c_1 = \frac{-3 + 2\sqrt{39}}{21}, \, c_2 = -\frac{3 + 2\sqrt{39}}{21} $

Solutions: $ c_1 = \frac{-3 + 2\sqrt{39}}{21} \approx 0.4519, \, c_2 = -\frac{3 + 2\sqrt{39}}{21} \approx -0.7376 $

n° 13.3 : $ f(x) = 9 - 2e^{4x + 1} $ sur $ [-1, 2] $

Solution :

$$ \mu = f_{\text{moy}} = \frac{54e^3 - e^{12} + 1}{6e^3} $$

$ f(c) = \frac{54e^3 - e^{12} + 1}{6e^3} \iff 9 - 2e^{4c + 1} = \frac{54e^3 - e^{12} + 1}{6e^3} \iff 4c + 1 = \ln\left(\frac{e^{12} - 1}{12e^3}\right) $

Solution: $ c = \frac{1}{4}\left(\ln\left(\frac{e^{12} - 1}{12e^3}\right) - 1\right) \approx 1.3788 $

n° 13.4 : $ f(x) = 8 - \cos\left(\frac{x}{4}\right) $ sur $ [0, 4\pi] $

Solution :

$$ \mu = f_{\text{moy}} = 8 $$

$ f(c) = 8 \iff 8 - \cos\left(\frac{c}{4}\right) = 8 \iff \cos\left(\frac{c}{4}\right) = 0 \iff c = 2\pi + 8k\pi, \, c = 6\pi + 8k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $

Solution: $ c = 2\pi $

Exercices - Calcul Intégral

Valeurs Moyenne d'une Fonction