Beamer du cours sur le calcul intégral

Dans l'ordre ou le désordre :

• Somme de Riemann
  • L'intégration est un concept fondamental des mathématiques permettant de calculer des aires et des volumes en décomposant un objet en une infinité de petites parties.
  • L'approximation de l’aire sous une courbe peut se faire par des sommes de Darboux inférieures et supérieures, utilisant des rectangles en escalier.
  • La somme de Riemann est une méthode plus générale qui estime l'aire sous une courbe en prenant des valeurs de la fonction en différents points des sous-intervalles.
  • En augmentant le nombre de subdivisions dans une somme de Riemann, on obtient une approximation de plus en plus précise de l'intégrale définie.
  • L'intégrale définie est formellement obtenue en passant à la limite des sommes de Riemann et représente l’aire sous la courbe pour une fonction positive.
  • Lorsqu'une fonction est négative sur une partie de l'intervalle, l'intégrale définie correspond à une aire algébrique, pouvant être interprétée en termes d’aire géométrique.
• Notion de primitives
  • L'intégrale indéfinie permet de retrouver une fonction à partir de sa dérivée, ce qui est utile notamment pour déterminer la position d'un objet en mouvement à partir de sa vitesse.
  • Toute fonction possédant une primitive admet une infinité de primitives qui ne diffèrent que par une constante d'intégration \( C \).
  • La somme des éléments infinitésimaux, notée par le symbole \( \int \), représente l'intégrale indéfinie et permet de calculer une famille de primitives.
  • Les primitives usuelles suivent des règles précises, comme \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) pour \( n \neq -1 \), et d'autres formules classiques impliquant exponentielles et fonctions trigonométriques.
  • L'intégration possède une propriété de linéarité, ce qui signifie que l'intégrale de la somme de deux fonctions est égale à la somme des intégrales de ces fonctions.
  • Certaines intégrales nécessitent des techniques de simplification, notamment l'utilisation d'exposants fractionnaires ou d'identités trigonométriques, afin de faciliter le calcul.
• le TFCDI - Théorème Fondamental du Calcul Différentiel et Intégral
  • Lien entre vitesse et position : L'intégrale définie permet de retrouver la position d'un objet en mouvement à partir de sa vitesse, en calculant l’aire sous la courbe vitesse-temps.
  • Lien entre puissance et énergie : En physique, l’énergie consommée par un appareil électrique est obtenue en intégrant la puissance fournie sur une période donnée, ce qui permet d’exprimer la consommation en kilowattheures (kWh).
  • Si la vitesse varie de manière non constante, la courbe vitesse-temps n’est plus une droite, mais une courbe plus complexe. Dans ce cas, l’aire sous la courbe ne peut pas être déterminée par de simples formules géométriques et nécessite d’être approchée par des méthodes d’intégration, comme la somme de Riemann ou le théorème fondamental du calcul intégral.
  • Théorème fondamental du calcul intégral : Il établit que l'intégrale définie d'une fonction \( f(x) \) sur un intervalle \([a,b]\) est égale à la différence des valeurs d'une de ses primitives \( F(x) \) aux bornes de l’intervalle, soit \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a). \)
  • Méthode de calcul des intégrales définies : Pour calculer une intégrale définie, on trouve d’abord une primitive de la fonction intégrée, puis on applique la formule du théorème fondamental en évaluant cette primitive aux bornes.
  • Propriétés essentielles de l'intégrale définie : L'intégrale définie possède des propriétés fondamentales comme la relation de Chasles, qui permet de découper une intégrale en plusieurs parties, et la symétrie des bornes, selon laquelle : \( \int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx. \)
  • Vocabulaire : le vocabulaire à connaitre.
• Application du TFCDI
  • Exemple pratique
• Techniques d’intégration
  • Substitution : Consiste à remplacer une expression par une nouvelle variable pour simplifier l'intégrale.
  • Changement de variable : Une variante de la substitution où la nouvelle variable est choisie pour simplifier l'intégrale (en exploitant parfois des symétries).
  • Intégration par parties (IPP) :
    • Permet de transformer l'intégrale d'un produit en une somme d'intégrales plus simples.
    • Règle de choix de \( u \) et \( dv \) pour l'IPP : Ordre de priorité A → L → P → E → S