Techniques d'intégration

$\newcommand\dif{\mathop{}\!\textrm{d}}$

Substitution

La substitution consiste à remplacer une expression dans l'intégrale par une autre expression, de sorte que l'intégrale devienne plus facile à calculer.

$\int f'(x) \cdot g(f(x)) \, dx = \int g(u) \, du = G(u) + C = G(f(x)) + C$

Exemple :

Soit

$\int x \cdot \cos(x^2) \, dx$ . En posant

$u = x^2$ , on a

$du = 2x \, dx$ .

$\frac{1}{2} \int \cos(x^2) \cdot 2x \, dx = \frac{1}{2} \int \cos(u) \, du = \frac{1}{2} \sin(u) + C = \frac{1}{2} \sin(x^2) + C$

Changement de variable

Le changement de variable consiste à remplacer la variable d'intégration par une nouvelle variable. La variable de remplacement est souvent choisie de manière à rendre l'intégrale plus symétrique ou plus simple.

Exemple :

Soit

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ . En posant

$x = \sin t$ , on a

$dx = \cos t \, dt$ .

$\begin{align*} \int \frac{\sin t}{\sqrt{1-\sin^2 t}} \dif{\:\sin t} &= \int \frac{\sin t}{\cos{t}} \cos t \dif{t}\\ &= \int \sin t \dif{t} \\ &= -\cos t + C \\ &= -\cos\left( \arcsin x\right) +C \\ &= -\sqrt{1-x^2} \end{align*}$

Intégration par parties

C'est une technique d'intégration qui permet de résoudre des intégrales de la forme

$\int u \, dv,$ où

$u$ et

$v$ sont des fonctions.

La méthode repose sur la formule suivante, appelée formule d'intégration par parties : $\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du.$
Cette formule peut être dérivée en utilisant la règle du produit et la formule de dérivation d'un produit.
La formule d'intégration par parties permet de transformer l'intégrale d'un produit en une somme d'intégrales plus simples.

Étapes

Voici les étapes pour utiliser la méthode d'intégration par parties :

Choisir $u$ et $dv$ dans l'intégrande. Il est souvent utile de choisir $u$ comme une fonction qui se simplifie lorsqu'elle est dérivée, tandis que $dv$ est une fonction qui peut être facilement intégrée.
Calculer $du$ et $v$ en dérivant $u$ et en intégrant $dv$ , respectivement.
Utiliser la formule d'intégration par parties pour transformer l'intégrale d'un produit en une somme d'intégrales plus simples.
Répéter les étapes 1 à 3 pour chaque nouvelle intégrale qui apparaît jusqu'à ce que toutes les intégrales soient résolues.
Évaluer les constantes d'intégration et simplifier la réponse si nécessaire.

NOTE : $\begin{equation} \int f(x)\cdot g'(x) \; dx=f(x)\cdot g(x)-\int g(x)\cdot f'(x)dx \end{equation}$ Il peut être difficile de décider comment diviser l'intégrale ; un guide possible est basé sur l'acronyme LPET qui signifie Logarithme, Polynôme, Exponentielle et Trigonométrique ; la partie de l'intégrale qui vient en premier dans cette liste est $f$ , l'autre partie $g'$ .

Exemple :

Prenons l'exemple de l'intégrale

$\int x \cdot \ln{x} \, dx$ pour illustrer cette méthode.

Nous pouvons choisir $u = \ln{x}$ et $dv = x \, dx$ . En dérivant $u$ et en intégrant $dv$ , nous obtenons : $du = \frac{1}{x} \, dx \qquad \text{et} \qquad v = \frac{x^2}{2}$ En appliquant la formule d'intégration par parties, nous avons : $\int x \cdot \ln{x} \, dx = \ln{x} \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \ln{x} - \frac{x^2}{4} + C,$ où $C$ est une constante d'intégration.

Cette méthode est très utile pour résoudre des intégrales qui ne peuvent pas être résolues en utilisant les techniques standard.

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No.	Type de fonction rationnelle propre	Fraction partielle
(i)	$\dfrac{px + q}{(x - a)(x - b)}, \ a \neq b$	$\dfrac{A}{x - a} + \dfrac{B}{x - b}$
(ii)	$\dfrac{px^2 + qx + r}{(x - a)(x - b)(x - c)}, \ a \neq b \neq c$	$\dfrac{A}{x - a} + \dfrac{B}{x - b} + \dfrac{C}{x - c}$
(iii)	$\dfrac{px + q}{(x - a)^3}$	$\dfrac{A}{x - a} + \dfrac{B}{(x - a)^2} + \dfrac{C}{(x - a)^3}$
(iv)	$\dfrac{px^2 + qx + r}{(x - a)^2(x - b)}$	$\dfrac{A}{x - a} + \dfrac{B}{(x - a)^2} + \dfrac{C}{x - b}$
(v)	$\dfrac{px^2 + qx + r}{(x - a)(x^2 + bx + c)}$ , où $x^2 + bx + c$ non factorisable.	$\dfrac{A}{x - a} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$
(vi)	$\dfrac{px^3 + qx^2 + rx + s}{(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)}$ , où $(x^2 + ax + b)$ et $(x^2 + cx + d)$ non factorisable.	$\dfrac{Ax + B}{x^2 + ax + b} + \dfrac{Cx + D}{x^2 + cx + d}$

Exemple 1 :

$\begin{align*} \int \frac{x+1}{x^{2}-3x+2} \dif{x} &= \int -\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x-2} \dif{x}\\ &= -2\ln \left| x-1\right| +3\ln \left| x-2\right| + C \end{align*}$ en effet,

$\displaystyle \frac{x+1}{x^{2}-3x+2} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2} \iff \frac{x+1}{x^{2}-3x+2} = \frac{A\left(x-2\right)}{x^{2}-3x+2}+\frac{B\left(x-1\right)}{x^{2}-3x+2} \implies \begin{cases} A+B=1 -2A-B=1 \end{cases}$

Exemple 2 :

$\begin{align*} \int \frac{x}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)} \dif{x} &= -\frac{1}{2}\int\frac{x-1}{x^2+1}\dif{x} + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}\dif{x} \\ &= -\frac{1}{2}\int\frac{x}{x^2+1}\dif{x} +\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2+1}\dif{x} + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}\dif{x} \\ &= -\frac{1}{4}\ln{\left|x^2+1\right|}+\frac{1}{2}\arctan{x}+\frac{1}{2}\ln{\left|x-1\right|}+C \end{align*}$

Exemple 3 :

$\begin{align*} \int \frac{x^2+2}{\left(x+1\right)^3\left(x-2\right)} \dif{x} &= -\int\frac{1}{\left(x+1\right)^3}\dif{x} + \frac{1}{3}\int \frac{1}{\left(x+1\right)^2}\dif{x} - \frac{2}{9}\int \frac{1}{x+1}\dif{x}+\frac{2}{9}\int\frac{1}{x-2}\dif{x} \\ &= \frac{1}{2\left(x+1\right)^2}-\frac{1}{3\left(x+1\right)}-\frac{2}{9}\ln{\left|x+1\right|}+\frac{2}{9}\ln{\left|x-2\right|}+C \\ &= -\frac{2x-1}{6\left(x+1\right)^2}+\frac{2}{9}\ln{\left|\frac{x-2}{x+1}\right|}+C \end{align*}$

pour intégrer les carrés, utilisez les substitutions trigonométriques : $\begin{eqnarray*} \cos^2x&=&\frac{1}{2}\left(1+\cos{2x}\right)\cr \sin^2x&=&\frac{1}{2}\left(1-\cos{2x}\right)\cr \end{eqnarray*}$ Pour des puissances supérieures à deux, vous pouvez réduire la puissance de deux en utilisant l'intégration par parties, ainsi, par exemple, en prenant $u=\cos^3{x}$ et $dv=\cos{x}dx$ , on obtient : $\begin{equation} \int \cos^4{x} \; dx=\frac{1}{4}\cos^3x\sin{x}+\frac{3}{4}\int \cos^2{x} \; dx \end{equation}$

Si une intégrale contient $\sqrt{a^2-x^2}$ , il est parfois utile de substituer $x=a\sin{\theta}$ ; pour $\sqrt{a^2+x^2}$ , $x=\tan{\theta}$ ; et pour $\sqrt{x^2-a^2}$ , $x=a\sec{\theta}$ .

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Substitution

Changement de variable

Intégration par parties

Intégration de fonctions rationnelles

Intégration des puissances supérieures de sinus et cosinus

Substitutions trigonométriques