Valeur moyenne d'une fonction

La valeur moyenne d'une fonction intégrable sur un intervalle $\left[ {a,b} \right]$ est le réel $\mu$ vérifiant \[ \mu = \frac{1}{{b - a}}\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} \]

Exemple

Valeur moyenne de $f\left( t \right) = {t^2} - 5t + 6\cos \left( {\pi \,t} \right)$ sur $\left[ { - 1,\frac{5}{2}} \right]$ \[ \mu = \frac{1}{{\frac{5}{2} - \left( { - 1} \right)}}\int_{{\, - 1}}^{{\,\frac{5}{2}}}{{{t^2} - 5t + 6\cos \left( {\pi \,t} \right)\,dt}} = \frac{12}{7\pi} - \frac{13}{6} = -1.620993 \]

Illustration

% Illustration
\pgfmathdeclarefunction{poly2}{0}{%
  \pgfmathparse{x^2-5*x+6*cos(deg(pi*x))}%
}
\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
  \begin{axis}[
    xmin=-1.5,
    xmax=3,
    ymin=-11,
    ymax=8,
  	axis y line=center,
    axis x line=center,
    xtick={-1, 2.5},
    xticklabels={$-1$, $2.5$},
    ytick={-1.620993},
    yticklabels={$\mu$},
    samples=200,
    domain=-1:2.5
  ]
 
  \addplot[name path=poly2,black,thick,mark=none,domain=-1:2.5] {poly2};
  \addplot[name path=line,gray,no markers,line width=1pt,domain=-1:2.5] {-1.620993};
  \addplot fill between[
    of = poly2 and line,
    split, % calculate segments
    every even segment/.style={pattern=north east lines, pattern color=orange},
    every odd segment/.style={pattern=north west lines, pattern color=gray}
  ];
 
  \draw[help lines] (axis cs:-1,-10) -- (axis cs:-1,6.2199);
  \draw[help lines] (axis cs:2.5,-10) -- (axis cs:2.5,6.2199);
%  \draw[help lines] (-2,1.59) -- (-1.2,1.59);
 
  \end{axis}
  \end{tikzpicture}
\end{center}

Exemple

Soit $R\left( z \right) = \sin \left( {2z} \right)\,{{\bf{e}}^{1 - \cos \left( {2z} \right)}}$ sur $\left[ { - \pi ,\pi } \right]$

\begin{align*}{\mu } & = \frac{1}{{\pi - \left( { - \pi } \right)}}\int_{{\, - \pi }}^{{\,\pi }}{{\sin \left( {2z} \right)\,{{\bf{e}}^{1 - \cos \left( {2z} \right)}}\,dz}}\\ & = \left. {\frac{1}{{4\pi }}{{\bf{e}}^{1 - \cos \left( {2z} \right)}}} \right|_{ - \pi }^\pi \\ & = 0\end{align*}

La valeur moyenne de cette fonction sur $\left[ { - \pi ,\pi } \right]$ vaut $0$. Pas d'inquiétude, cela arrive parfois. Il suffit d'observer le graphique suivant pour s'en convaincre.

Théorème

Si, de plus, $f$ est continue sur l'intervalle $\left[ {a,b} \right]$ alors : \[\exists c \in \left] {a,b} \right[ \: : \: f(c) = \frac{1}{{b - a}}\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}}\]

Exemple

Déterminer le nombre $c$ qui satisfait le théorème de la moyenne pour les intégrales pour la fonction \[f\left( x \right) = {x^2} + 3x + 2\] sur l'intervalle $\left[ {1,4} \right]$.

Commençons par remarquer que la fonction est un polynôme et est donc continue sur l'intervalle donné. Cela signifie que l'on peut appliquer le théorème de la moyenne. Faisons-le.

\begin{align*}\int_{{\,1}}^{{\,4}}{{{x^2} + 3x + 2\,dx}} & = \left( {{c^2} + 3c + 2} \right)\left( {4 - 1} \right)\\ \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_1^4 &= 3\left( {{c^2} + 3c + 2} \right)\\ \frac{{99}}{2} &= 3{c^2} + 9c + 6\\ & 0 = 3{c^2} + 9c - \frac{{87}}{2}\end{align*}

Résolution de l'équation quadratique : L'équation quadratique à résoudre est la suivante :

\[ 0 = 3c^2 + 9c - \frac{87}{2} \]

En appliquant la formule du discriminant, on obtient deux solutions :

\[ \begin{aligned} c &= \frac{-3 + \sqrt{67}}{2} \approx 2{,}593 \\ c &= \frac{-3 - \sqrt{67}}{2} \approx -5{,}593 \end{aligned} \]

Il est clair que la seconde valeur ne se trouve pas dans l'intervalle donné. La première, en revanche, appartient à l'intervalle et constitue donc la solution recherchée.

Remarque : il est possible que les deux solutions soient dans l'intervalle, donc ne vous attendez pas nécessairement à en trouver une seule.

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Valeur moyenne d'une fonction

Théorème de la moyenne