Limites de fonctions
Introduction
En analyse mathématique, le concept de limite est fondamental pour comprendre le comportement des fonctions. La notion de limite est particulièrement utile pour étudier le comportement d'une fonction au voisinage d'un trou ou d'un bord (point limite ou asymptote verticale) de son domaine de définition.
Mais la notion de limite s'utilise également pour appréhender le comportement de la courbe infiniment à gauche ou infiniment à droite, c'est-à-dire respectivement quand $x$ devient un nombre négatif très grand en valeur absolue ($x \to -\infty$) et très grand dans les positifs ($x \to +\infty$).
Pourquoi les Limites sont-elles Importantes ?
Les limites permettent de définir des concepts essentiels comme la continuité, la dérivabilité et l'intégrabilité des fonctions. Elles jouent un rôle crucial dans le calcul différentiel et intégral, aidant à résoudre des problèmes impliquant des taux de variation, des aires sous des courbes, et bien plus encore.
Notations / Terminologie
| Notation | Terminologie |
|---|---|
| \( x \to a^- \) | \( x \) tend vers \( a \) par la gauche (par valeurs *inférieures* à \( a \)). |
| \( x \to a^+ \) | \( x \) tend vers \( a \) par la droite (par valeurs *supérieures* à \( a \)). |
| \( f(x) \to +\infty \) | \( f(x) \) croît sans être bornée (\( f(x) \) prend des valeurs positives arbitrairement grandes). |
| \( f(x) \to -\infty \) | \( f(x) \) décroît sans être bornée (\( f(x) \) prend des valeurs négatives arbitrairement grandes en valeur absolue). |
Les formes indéterminées
| $\dfrac{0}{0}$ | $\dfrac{\infty}{\infty}$ | $0 \times \infty$ | |
| $\infty - \infty$ | $0^0$ | $\infty^0$ | $1^\infty$ |
Limites en un réel
Intuitivement, la limite d'une fonction $f(x)$ lorsque $x$ approche un certain point $a$ est la valeur vers laquelle $f(x)$ se rapproche de plus en plus, sans nécessairement l'atteindre.
Considérons une fonction \( f \) définie sur un intervalle ouvert contenant un réel \( a \). Il est possible que \( f \) ne soit pas définie en \( a \) lui-même. Dans ce cas, nous disons que \( f \) est définie au voisinage de \( a \).
Soit \( \ell \in \overline{\mathbb{R}} \). Dire que la fonction \( f \) a pour limite \( \ell \) lorsque \( x \) tend vers \( a \) signifie que tout intervalle ouvert contenant \( \ell \) inclut toutes les valeurs de \( f(x) \) pour \( x \) suffisamment proche de \( a \).
Nous notons cette limite par :
\[ \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = \ell \]
Définition formelle
exemples
| $x \to 0^+$ | $x \to 0^-$ | |
|---|---|---|
| $a > 0$ | $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{a}{x} = +\infty$ | $\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{a}{x} = -\infty$ |
| $a < 0$ | $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{a}{x} = -\infty$ | $\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{a}{x} = +\infty$ |
Logarithme Népérien
| $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\ln(x + 1)}{x} = 1$ | $\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$ |
| $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ | $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\ln(x)}{x - 1} = 1$ |
Limites à l'Infini
Les limites à l'infini décrivent le comportement d'une fonction lorsque la variable tend vers l'infini. On peut définir :
- Limite en $+\infty$ : $\lim_{{x \to +\infty}} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ lorsque $x$ devient très grand dans les positifs.
- Limite en $-\infty$ : $\lim_{{x \to -\infty}} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ lorsque $x$ devient un nombre négatif très grand en valeur absolue.
Ces limites sont essentielles pour comprendre le comportement asymptotique des fonctions et sont souvent utilisées pour analyser des phénomènes qui évoluent sur de grandes échelles.
exemples
| $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$ | $\lim\limits_{x \to \infty} e^x = +\infty$ |
| $\lim\limits_{x \to \infty} x^n = 0$ | $\lim\limits_{x \to \infty} x\ln(x) = +\infty$ |
| $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x}{\ln(x)} = +\infty$ | $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$ |
Asymptotes
