Table des matières
Les limites en l'infini
Mise en évidence du terme de plus haut degré
Exemple 1 :
Limite en l'infini d'un quotient de deux polynômes :
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2-2x+5}{1-2x^2} = \left[ \frac{(-\infty)^2-2(-\infty)+5}{1-2(-\infty)^2}\right] = \left[ \frac{(+\infty)+(+\infty)+5}{1-2(+\infty)}\right] = \left[ \frac{+\infty}{-\infty} \right]$
La limite d'une fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) en ${\displaystyle -\infty }$ et en ${\displaystyle +\infty }$ est celle du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
C'est la mise en évidence du terme de plus haut degré qui permet de lever la FI ! \begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2-2x+5}{1-2x^2} &=& \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2\left( 1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}\right)}{-2x^2\left( -\frac{1}{2x^2}+1\right)} \\ &=& \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}}{-2\left( -\frac{1}{2x^2}+1\right)} \\ &=& \frac{\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} 1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2} }{-2 \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} -\frac{1}{2x^2}+1 } &=& -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}
Exemple 2 :
Limites en l'infini d'un quotient dont le numérateur comprenant un radical. \begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{5x^2 + 2x}}{x} = \left[ \frac{+\infty}{+\infty} \right]_{(FI)} &=& \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{{5x^2 \left( 1+\tfrac{2}{5x}\right) }}}{x} \\ &=& \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{{5}}\ |x|\sqrt{1+\tfrac{2}{5x}}}{x}\\ &=& \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{{5}}\ |x|}{x} \cdot \lim_{x \to +\infty}\sqrt{1+\tfrac{2}{5x}}\\ &=& \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{{5}}\cdot{x}}{x}\cdot \lim_{x \to +\infty}\sqrt{1+\tfrac{2}{5x}}\\ &=& \sqrt{5} \cdot 1 = \sqrt{5} \end{eqnarray*}
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{5x^2 + 2x}}{x} = \left[ \frac{+\infty}{-\infty} \right]_{(FI)} = \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{5x^2}}{x} = \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{5}\ |x|}{x} = \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{5}\cdot{\left(-x\right)}}{x} = -\sqrt{5} $
Binôme conjugué
Exemple 1 :
$\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^{2}-4 x+3}-x = \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^{2}}\right)-\left(x\right) = [(+\infty) - (+\infty)]$
Une mise en évidence des termes de plus haut degré nous conduit à une autre forme indéterminée !
En effet,
\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^{2}-4 x+3}-x = \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^{2}\left( 1-\tfrac{4}{x}+\tfrac{3}{x^2}\right) }-x &=& \lim\limits_{x \to +\infty}\ |x|\sqrt{ 1-\tfrac{4}{x}+\tfrac{3}{x^2} }-x \\ &=& \lim\limits_{x \to +\infty} {x}\sqrt{ 1-\tfrac{4}{x}+\tfrac{3}{x^2} }-x \\ &=& \lim\limits_{x \to +\infty} {x}\left(\sqrt{ 1-\tfrac{4}{x}+\tfrac{3}{x^2} }-1\right) \\ &=& \left( \lim\limits_{x \to +\infty} {x}\right) \cdot \left( \lim\limits_{x \to +\infty} \underbrace{\sqrt{ 1-\tfrac{4}{x}+\tfrac{3}{x^2} }-1}_{\neq 0}\right) \\ &=& \left(+\infty\right) \cdot \left( 0\right) \quad \text{autre FI !} \end{eqnarray*}
La technique du binôme conjugué doit être appliquée avant d'utiliser la mise en évidence : \begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^{2}-4 x+3}-x &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\left(\sqrt{x^{2}-4 x+3}-x\right)\left(\sqrt{x^{2}-4 x+3}+x\right)}{\left(\sqrt{x^{2}-4 x+3}+x\right)} \\ &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2-4x+3-x^2}{\sqrt{x^{2}-4 x+3}+x} \\ &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4x+3}{\sqrt{x^{2}-4 x+3}+x} \\ &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4x}{\sqrt{x^{2}}+x} \\ &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4x}{|x|+x} \\ &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4x}{x+x} \\ &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4x}{2x} \\ &=& -2 \end{eqnarray*}
Exemple 2 :
Même si cela paraît inutile dans ce cas-ci, il faut éviter à tout prix une mise en évidence (voir exercice précédent).
\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right) &=& \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\right)}{\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\right)} \\ &=& \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{\left(x+1\right)-\left(x+2\right)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}} \\ &=& \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{-1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}} \\ &=& 0 \end{eqnarray*}
169 visites