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Techniques de calcul des limites

Les limites en un réel

Les limites en un réel sont souvent calculées en utilisant des techniques de simplification pour résoudre les formes indéterminées. Voici quelques méthodes courantes :

Factorisation

La factorisation est une technique utilisée pour simplifier des fractions en décomposant le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs plus simples. Cela permet de résoudre les formes indéterminées du type 0/0.

Exemple 1 : \begin{align*} \lim\limits_{x\rightarrow-5}\dfrac{25-x^2}{5x^3+10x^2-75x} & = \left[\dfrac{0}{0}\right] \quad \textrm{Forme Indéterminée} \\ & = \lim\limits_{x\rightarrow-5}\dfrac{-(x-5)(x+5)}{5x(x-3)(x+5)}\\ & = \lim\limits_{x\rightarrow-5}\dfrac{-(x-5)}{5x(x-3)} \\ & = \dfrac{10}{(-25)(-8)}=\dfrac{1}{20} \end{align*}

  1. Identification de la forme indéterminée : La limite de la fraction \(\frac{25 - x^2}{5x^3 + 10x^2 - 75x}\) lorsque \(x\) tend vers -5 est indéterminée car le numérateur et le dénominateur s'annulent tous les deux.
  2. Factorisation : Factoriser le numérateur et le dénominateur : \(\frac{-(x-5)(x+5)}{5x(x-3)(x+5)}\).
  3. Simplification : Simplifier en annulant le facteur commun \((x+5)\) : \(\frac{-(x-5)}{5x(x-3)}\).
  4. Évaluation de la limite : En substituant \(x = -5\) dans l'expression simplifiée, on obtient \(\frac{1}{20}\).

Exemple 2 : \begin{align*} \lim\limits_{x\rightarrow 3}\dfrac{x^3-6x^2+9x}{4x^3-14x^2+13x-21} &= \left[\dfrac{0}{0}\right] \quad \textrm{Forme Indéterminée} \\ &= \lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x(x-3)(x-3)}{(x-3)(4x^2-2x+7)} \\ &= \lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x(x-3)}{4x^2-2x+7} \\ &=\dfrac{3\times 0}{4\times 9-6+7}=\dfrac{0}{37} = 0 \end{align*}

  1. Identification de la forme indéterminée : La limite de la fraction \(\frac{x^3 - 6x^2 + 9x}{4x^3 - 14x^2 + 13x - 21}\) lorsque \(x\) tend vers 3 est indéterminée.
  2. Factorisation : Factoriser le numérateur et le dénominateur : \(\frac{x(x-3)(x-3)}{(x-3)(4x^2 - 2x + 7)}\).
  3. Simplification : Simplifier en annulant le facteur commun \((x-3)\) : \(\frac{x(x-3)}{4x^2 - 2x + 7}\).
  4. Évaluation de la limite : En substituant \(x = 3\) dans l'expression simplifiée, on obtient 0.

Binômes conjugués

La méthode des binômes conjugués est utilisée pour simplifier des expressions contenant des racines carrées. Elle consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du terme contenant la racine.

Exemple 3 : \begin{align*} \lim\limits_{x\rightarrow 2^+}\dfrac{2-\sqrt{x+2}}{x-2} &= \left[\dfrac{0}{0}\right] \quad \textrm{Forme Indéterminée}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow 2^+}\dfrac{(2-\sqrt{x+2})(2+\sqrt{x+2})}{(x-2)(2+\sqrt{x+2})}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow 2^+}\dfrac{4-(x+2)}{(x-2)(2+\sqrt{x+2})} \\ &=\lim\limits_{x\rightarrow 2^+}\dfrac{-{(x-2)}}{{(x-2)}(2+\sqrt{x+2})} = -\dfrac{1}{4} \end{align*}

  1. Identification de la forme indéterminée : La limite de la fraction \(\frac{2 - \sqrt{x+2}}{x-2}\) lorsque \(x\) tend vers 2 par la droite est indéterminée.
  2. Multiplication par le conjugué : Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de \(2 - \sqrt{x+2}\), qui est \(2 + \sqrt{x+2}\).
  3. Simplification : Simplifier l'expression : \(\frac{(2 - \sqrt{x+2})(2 + \sqrt{x+2})}{(x-2)(2 + \sqrt{x+2})}\).
  4. Évaluation de la limite : En substituant \(x = 2\) dans l'expression simplifiée, on obtient \(-\frac{1}{4}\).

Les limites en l'infini

Mise en évidence du terme de plus haut degré

Exemple 1 :

Limite en l'infini d'un quotient de deux polynômes :

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2-2x+5}{1-2x^2} = \left[ \frac{(-\infty)^2-2(-\infty)+5}{1-2(-\infty)^2}\right] = \left[ \frac{(+\infty)+(+\infty)+5}{1-2(+\infty)}\right] = \left[ \frac{+\infty}{-\infty} \right]$

La limite d'une fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) en ${\displaystyle -\infty }$ et en ${\displaystyle +\infty }$ est celle du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

C'est la mise en évidence du terme de plus haut degré qui permet de lever la FI ! \begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2-2x+5}{1-2x^2} &=& \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2\left( 1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}\right)}{-2x^2\left( -\frac{1}{2x^2}+1\right)} \\ &=& \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}}{-2\left( -\frac{1}{2x^2}+1\right)} \\ &=& \frac{\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} 1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2} }{-2 \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} -\frac{1}{2x^2}+1 } &=& -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}

Exemple 2 :

Limites en l'infini d'un quotient dont le numérateur comprenant un radical. \begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{5x^2 + 2x}}{x} = \left[ \frac{+\infty}{+\infty} \right]_{(FI)} &=& \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{{5x^2 \left( 1+\tfrac{2}{5x}\right) }}}{x} \\ &=& \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{{5}}\ |x|\sqrt{1+\tfrac{2}{5x}}}{x}\\ &=& \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{{5}}\ |x|}{x} \cdot \lim_{x \to +\infty}\sqrt{1+\tfrac{2}{5x}}\\ &=& \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{{5}}\cdot{x}}{x}\cdot \lim_{x \to +\infty}\sqrt{1+\tfrac{2}{5x}}\\ &=& \sqrt{5} \cdot 1 = \sqrt{5} \end{eqnarray*}

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{5x^2 + 2x}}{x} = \left[ \frac{+\infty}{-\infty} \right]_{(FI)} = \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{5x^2}}{x} = \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{5}\ |x|}{x} = \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{5}\cdot{\left(-x\right)}}{x} = -\sqrt{5} $

Binôme conjugué

Exemple 1 :

$\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^{2}-4 x+3}-x = \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^{2}}\right)-\left(x\right) = [(+\infty) - (+\infty)]$

Une mise en évidence des termes de plus haut degré nous conduit à une autre forme indéterminée !

En effet,

\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^{2}-4 x+3}-x &=& \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^{2}\left( 1-\tfrac{4}{x}+\tfrac{3}{x^2}\right) }-x \\ &=& \lim\limits_{x \to +\infty}\ |x|\sqrt{ 1-\tfrac{4}{x}+\tfrac{3}{x^2} }-x \\ &=& \lim\limits_{x \to +\infty} {x}\sqrt{ 1-\tfrac{4}{x}+\tfrac{3}{x^2} }-x \\ &=& \lim\limits_{x \to +\infty} {x}\left(\sqrt{ 1-\tfrac{4}{x}+\tfrac{3}{x^2} }-1\right) \\ &=& \left( \lim\limits_{x \to +\infty} {x}\right) \cdot \left( \lim\limits_{x \to +\infty} \underbrace{\sqrt{ 1-\tfrac{4}{x}+\tfrac{3}{x^2} }-1}_{\neq 0}\right) \\ &=& \left(+\infty\right) \cdot \left( 0\right) \quad \text{autre FI !} \end{eqnarray*}

La technique du binôme conjugué doit être appliquée avant d'utiliser la mise en évidence : \begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^{2}-4 x+3}-x &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\left(\sqrt{x^{2}-4 x+3}-x\right)\left(\sqrt{x^{2}-4 x+3}+x\right)}{\left(\sqrt{x^{2}-4 x+3}+x\right)} \\ &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2-4x+3-x^2}{\sqrt{x^{2}-4 x+3}+x} \\ &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4x+3}{\sqrt{x^{2}-4 x+3}+x} \\ &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4x}{\sqrt{x^{2}}+x} \\ &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4x}{|x|+x} \\ &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4x}{x+x} \\ &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4x}{2x} \\ &=& -2 \end{eqnarray*}

Exemple 2 :

Même si cela paraît inutile dans ce cas-ci, il faut éviter à tout prix une mise en évidence (voir exercice précédent).

\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right) &=& \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\right)}{\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\right)} \\ &=& \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{\left(x+1\right)-\left(x+2\right)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}} \\ &=& \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{-1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}} \\ &=& 0 \end{eqnarray*}

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  • Dernière modification : 2025/03/13 21:23
  • de Frédéric Lancereau