Conséquences graphiques
Le résultat obtenu après calcul d'une limite d'une fonction donnée implique une interprétation graphique : présence d'un point “creux” ou d'une asymptote éventuelle au graphe de celle-ci.
Limite en un réel
Si $\lim\limits_{x \rightarrow a^+} f(x)=\pm\infty$ ou $\lim\limits_{x \rightarrow a^-} f(x)=\pm\infty$ alors $G_f$ admet une asymptote verticale d'équation $x=a$.
Exemple : Si $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}}$, alors $\lim\limits_{x \rightarrow 1^+} f(x) = +\infty$ et $G_f$ admet une $AV \equiv x=1$.
Limite en l'infini
Deux possibilités se présentent:
- Si $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=b \in \mathbb{R}$ ou $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)=b \in \mathbb{R}$ alors $G_f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=b$.
- Exemple : Si $f(x) = \dfrac{3x-1}{2x-1}$ alors $\lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty} f(x) = \frac{3}{2}$ et $G_f$ admet une $AH \equiv y=\frac{3}{2}$.
- Si $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=\pm\infty$ alors il faut distinguer trois cas possibles:
- si $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} = m \in \mathbb{R}$ et $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left[f(x) - ax\right] = p \in \mathbb{R}$ alors $G_f$ admet une asymptote oblique de pente $m$ : $AO \equiv y=mx+p$
- Exemple 1 : Soit $f(x)=\sqrt{x^2+1}$. On a $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 1$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left[f(x) - x\right] = 0$, par conséquent $G_f$ admet une $AO \equiv y=x$.
- si $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ alors $G_f$ admet une branche parabolique de direction $Ox$
- Exemple 2 : Soit $f(x)=\sqrt{x}$. On a $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$, par conséquent $G_f$ admet une branche parabolique de direction $Ox$ à droite.
- si $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty$ alors $G_f$ admet une branche parabolique de direction $Oy$
- Exemple 3 : Soit $f(x)=x^2$. On a $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty$, par conséquent $G_f$ admet une branche parabolique de direction $Oy$ à droite.
