Conséquences graphiques
Le résultat obtenu après calcul d'une limite d'une fonction donnée implique une interprétation graphique : présence d'un point “creux” ou d'une asymptote éventuelle au graphe de celle-ci.
Limite en un réel
Si limx→a+f(x)=±∞ ou limx→a−f(x)=±∞ alors Gf admet une asymptote verticale d'équation x=a.
Exemple : Si f(x)=1√x−1, alors limx→1+f(x)=+∞ et Gf admet une AV≡x=1.
Limite en l'infini
Deux possibilités se présentent:
- Si limx→+∞f(x)=b∈R ou limx→−∞f(x)=b∈R alors Gf admet une asymptote horizontale d'équation y=b.
- Exemple : Si f(x)=3x−12x−1 alors limx→±∞f(x)=32 et Gf admet une AH≡y=32.
- Si limx→∞f(x)=±∞ alors il faut distinguer trois cas possibles:
- si limx→∞f(x)x=m∈R et limx→∞[f(x)−ax]=p∈R alors Gf admet une asymptote oblique de pente m : AO≡y=mx+p
- Exemple 1 : Soit f(x)=√x2+1. On a limx→+∞f(x)=1 et limx→+∞[f(x)−x]=0, par conséquent Gf admet une AO≡y=x.
- si limx→∞f(x)x=0 alors Gf admet une branche parabolique de direction Ox
- Exemple 2 : Soit f(x)=√x. On a limx→+∞f(x)=+∞ et limx→+∞f(x)x=0, par conséquent Gf admet une branche parabolique de direction Ox à droite.
- si limx→∞f(x)x=±∞ alors Gf admet une branche parabolique de direction Oy
- Exemple 3 : Soit f(x)=x2. On a limx→+∞f(x)=+∞ et limx→+∞f(x)x=+∞, par conséquent Gf admet une branche parabolique de direction Oy à droite.
