Exercices sur les limites

voir Techniques de calcul des limites pour quelques exemples

Exercice 1 : $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x + 5} - 3}{x - 4}$

Exercice 2 : $\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}}{\sqrt{-3x} - \sqrt{2x + 5}}$

Exercice 3 : $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\lvert x - 3 \rvert \cdot (x^2 - 4x + 5)}{2x^3 - 7x^2 + 7x - 12}$

Exercice 4 : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{(x - 1)^7}{x^7 + 3x^5 + 2x^2}$

Exercice 5 : $\lim\limits_{x \to -\infty} \left( 2x + \sqrt{x^2 + 1} \right)$

Solution

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to -\infty} \left( 2x + \sqrt{x^2 + 1} \right) &=& \left[ {\left( -\infty\right) }+{\left( +\infty\right) } \right] \ \text{(FI)} \\ &=& \lim_{x \to -\infty}\dfrac{4x^2-\left( x^2+1\right) }{2x - \sqrt{x^2 + 1}}\\ &=& \lim_{x \to -\infty}\dfrac{3x^2}{2x-\lvert x \rvert}\\ &=& \lim_{x \to -\infty}\dfrac{3x^2}{2x+x}\\ &=& \lim_{x \to -\infty}\dfrac{3x^2}{3x}\\ &=& \lim_{x \to -\infty}x = -\infty\\ \end{eqnarray*}$

Exercice 6 : $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 - 1} - \sqrt{x^2 - 3}}{1-3x}$

Exercice 7 : Considérons la fonction $f : \mathbb R \to \mathbb R ~;~ x \rightarrow \dfrac{2x^2-6x+3}{2x-4}$

n° 7.1 : Indiquez son domaine puis recherchez toutes les asymptotes. Justifiez par calculs de limites.

Solution

CE : $2x-4\neq 0 \implies \text{dom} f = \mathbb{R}\setminus \left\lbrace 2 \right\rbrace$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to 2^-} \dfrac{2x^2-6x+3}{2x-4} = \dfrac{-1}{0^-} = +\infty\\ \lim\limits_{x\to 2^+} \dfrac{2x^2-6x+3}{2x-4} = \dfrac{-1}{0^+} = -\infty \end{cases} \implies \text{AV}\equiv x=2$

$\lim\limits_{x\to \pm\infty} f(x) = \lim\limits_{x\to \pm\infty} \dfrac{2x^2}{2x} = \lim\limits_{x\to \pm\infty} x = \pm\infty \implies \text{pas d'AH}$

AO

$m=\lim\limits_{x\to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x\to \pm\infty} \dfrac{2x^2}{2x^2} = 1$ et \begin{align*} p=\lim\limits_{x\to \pm\infty} f(x) - x &= \lim\limits_{x\to \pm\infty} \dfrac{-2x}{2x}\\ &= -1 \end{aligned}$

Conclusion : AO $\equiv y=x-1$

n° 7.2 : Examinez la position de la courbe par rapport aux éventuelles asymptotes horizontales et obliques. Utilisez des tableaux de signes.

Solution

$\Delta = f(x)-(x-1) = \ldots = \dfrac{-1}{2x-4}$

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt = 2.5, espcl = 5]{$x$ / 1 , $\Delta =\frac{-1}{2x-4}$ / 1, position / 1}{$-\infty$, $2$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, +, d, -, }
\tkzTabLine{, G_f \text{ au-dessus de l'AO}, , G_f \text{ en-dessous de l'AO}, }
\end{tikzpicture}

Exercice 8 : Soit la fonction $f : \mathbb R \to \mathbb R ~;~ x \rightarrow x-\sqrt{x^2+2x-3}$ . Après avoir déterminé son domaine, recherchez les éventuelles AH et AO.

Solution

CE : $x^2+2x-3\geq 0 \iff x\in \left]-\infty;-3\right] \cup \left[1;+\infty\right[$ $\text{dom} f = \left]-\infty;-3\right] \cup \left[1;+\infty\right[$ $\begin{align*} \lim\limits_{x\to -\infty} x-\sqrt{x^2+2x-3} &= \left( -\infty\right) -\left(\sqrt{+\infty}\right) \\ &= -\infty \quad \text{pas d'}AH_g\\ AO_g \text{?} \qquad m&=\lim\limits_{x\to -\infty} \frac{x-\sqrt{x^2+2x-3}}{x}\\ &= \lim\limits_{x\to -\infty} 1-\frac{\sqrt{x^2+2x-3}}{x}\\ &= \lim\limits_{x\to -\infty} 1-\frac{-x}{x} = 2\\ p&= \lim\limits_{x\to -\infty} x-\sqrt{x^2+2x-3} -2x\\ &= \lim\limits_{x\to -\infty} -x-\sqrt{x^2+2x-3} = \left(+\infty\right) -\left({+\infty}\right) \text{ FI}\\ &= \lim\limits_{x\to -\infty} \frac{x^2-\left( {x^2+2x-3}\right) }{-x+\sqrt{x^2+2x-3} } \\ &= \lim\limits_{x\to -\infty} \frac{-2x }{-x-x} = 1 \end{align*}$

Conclusion : AO $_g\equiv y=2x+1$

$\begin{align*} \lim\limits_{x\to +\infty} x-\sqrt{x^2+2x-3} &= \left(+\infty\right) -\left(\sqrt{+\infty}\right) \text{ FI}\\ &= \lim\limits_{x\to -\infty} \frac{x^2-\left( {x^2+2x-3}\right) }{x+\sqrt{x^2+2x-3} } \\ &= \lim\limits_{x\to -\infty} \frac{-2x}{2x} = -1 \end{align*}$

Conclusion : AH $_d\equiv y=-1$