Limites des fonctions trigonométriques
On considère la fonction \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) définie par \( f(x) = \dfrac{\sin(x)}{x} \)
Bien que cette fonction ne soit pas définie en \( 0 \), nous nous intéressons à son comportement au voisinage de cette valeur. Plus précisément, nous allons étudier sa limite lorsque \( x \) tend vers \( 0 \).
Notre objectif est de démontrer que : \[ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{x} = 1. \]
Démonstration
Dans cette configuration, nous allons encadrer l’aire du triangle \( AOD \). Pour commencer, on suppose que \( \theta \) est positif et proche de zéro. Toutefois, la démarche reste valable lorsque \( \theta \) est négatif.
- Aire secteur AOB : \(\frac{\theta}{2}\cos^2 \theta\)
- Aire triangle AOD : \(\frac{1}{2}\sin \theta \cdot \cos \theta\)
- Aire secteur EOD : \(\frac{\theta}{2}\)
\begin{align*} \frac{\theta}{2}\cos^2 \theta &\leq \frac{1}{2}\sin \theta \cdot \cos \theta \leq \frac{\theta}{2} \\ &\iff \cos^2 \theta \leq \frac{\sin \theta \cdot \cos \theta}{\theta} \leq 1 \\ &\iff \cos \theta \leq \frac{\sin \theta}{\theta} \leq \frac{1}{\cos\theta} \\ &\iff \lim_{\theta \to 0} \cos \theta \leq \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} \leq \lim_{\theta \to 0} \frac{1}{\cos\theta} \\ &\iff 1 \leq \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} \leq 1 \end{align*}
Rappel : pour un cercle de rayon \( r \), un secteur délimité par un angle \( \theta \) (en radians) a une aire donnée par : \[ \text{Aire du secteur} = \frac{1}{2} r^2 \theta. \]
Autre exemple
Le théorème des gendarmes peut également être utilisé pour étudier des limites lorsque \( x \) tend vers l’infini. Considérons, par exemple, la limite suivante : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x + \sin(x)}{x}. \]
Nous savons que, pour tout \( x \in \mathbb{R} \), la fonction sinus est bornée : \[ -1 \leq \sin(x) \leq 1. \]
En ajoutant \( x \) de part et d’autre, cela donne : \[ x - 1 \leq x + \sin(x) \leq x + 1. \]
En divisant par \( x \) (qui est strictement positif lorsque \( x \to +\infty \)), on obtient : \[ \frac{x - 1}{x} \leq \frac{x + \sin(x)}{x} \leq \frac{x + 1}{x}. \]
Calculons maintenant les limites des termes encadrants : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x - 1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left( 1 - \frac{1}{x} \right) = 1, \] et \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right) = 1. \]
Par application du théorème des gendarmes, on en déduit que : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x + \sin(x)}{x} = 1. \]
Exercice
Utiliser \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) pour évaluer les limites suivantes : (on ne demande donc pas d'utiliser le théorème des gendarmes)
- \( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \tan(x^2)}{\cos(3x) \sin^3(2x)} \)
- \( \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\tan(2x)}{x - \frac{\pi}{2}} \)