Notion d'adhérence

$ \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\dom}[1]{\textbf{dom}\,#1} \newcommand{\ima}[1]{\textbf{im}\,#1} \def\lr#1#2#3{\ensuremath{\left#1#3\right#2}} \newcommand{\intf}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\into}[2]{\left] #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intfo}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intof}[2]{\left] #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\adh}[1]{\textbf{adh}\left(#1\right)} $

Dans ce qui suit, les crochets ouverts et fermés seront utilisés pour désigner les intervalles. Le point virgule sera utilisé pour séparer les extrémités afin d'éviter toute confusion avec la virgule, qui est utilisée comme séparateur décimal dans le système international. De la même façon, le point virgule sera utilisé pour séparer les coordonnées des points. En voici un exemple.

$\dom{f}=\intof{-2}{5}$
$\ima{f}=\intof{1,75}{8}$
$f(-2) \notin \R$ ($-2$ n'a pas d'image par $f$ ou $f(-2) \; \nexists$)
$\lim\limits_{{x \to -2^+}} f(x) = 1,75$ (nouvelle notation)

L'adhérence d'un ensemble $I \subset \mathbb{R}$ est tout simplement l'ensemble des points adhérents à $I$. On peut aussi le décrire par le plus petit fermé contenant $I$. Généralement, l'adhérence de $I$ est noté $\bar{I}$

Un réel $a$ adhère à un sous-ensemble $\mathrm{U}$ de $\mathbb{R}$ lorsque l'intersection avec $\mathrm{U}$ de n'importe quel intervalle ouvert centré en $a$ n'est pas vide. \[\forall \varepsilon > 0 : \into{a-\varepsilon}{a+\varepsilon} \cap \mathrm{U} \neq \emptyset \]

L'adhérence d'un sous-ensemble $\mathrm{U} \subset \mathbb{R}$ est l'ensemble des points adhérents à $\mathrm{U}$. On peut aussi la définir, de manière équivalente, comme le plus petit fermé contenant $\mathrm{U}$. Classiquement, l'adhérence de $\mathrm{U}$ est notée $\adh{\mathrm{U}}$.

Exemple : Soit $U=\left]-1;0\right[ \cup \mathbb{R}_0^+$. On a:

tout réel appartenant à $U$ adhère à $I$
$-1$ adhère à $U$
$0$ adhère à $U$
$-1,01$ n'adhère pas à $U$

Autres exemples : $\adh{\into{-2}{+\infty}}=\intfo{-2}{+\infty}$ et $\adh{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$

Notes : L'adhérence d'un intervalle de $\mathbb R$ est l'intervalle fermé de mêmes bornes.

Il n'y aura de sens à étudier son comportement en un réel $a$ que si $a$ adhère au domaine. Plus précisément, si :

$a \in \text{dom}\:f$ sans être isolé le domaine d'existence est

$\text{dom}\:f = \mathbb{R} \backslash \left\{a\right\}$,
$\text{dom}\:f = \left]-\infty;a\right[$
ou encore $\text{dom}\:f = \left]a;+\infty \right[$ (liste non exhaustive!)

Soit $f(x)=\dfrac{x^2-5x+6}{\left(x-2\right)^2\left(1-2x\right)}$. Le domaine de définition est $\mathbb{R} \backslash \left\{\frac{1}{2};2\right\}$ et les valeurs réelles qui y adhèrent sans y appartenir sont $\frac{1}{2}$ et $2$. Il y a donc un sens à caluler les limites en $x=\frac{1}{2}$, en $x=2$ ainsi que les limites en l'infini (le domaine le permet).

\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}}f(x)&=& \left[\frac{\frac{15}{4}}{\frac{9}{4}.0}\right]=\pm\infty\\ &=& \left\{\begin{array}{l} \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}^+} f(x) = -\infty\\ \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}^-} f(x) = +\infty \end{array}\right. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 2}f(x)&=& \left[\frac{0}{0}\right] \ \text{FI!}\\ &=& \left\{\begin{array}{l} \lim_{x \rightarrow 2^+} f(x) = +\infty\\ \lim_{x \rightarrow 2^-} f(x) = -\infty \end{array}\right. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \pm\infty}f(x)&=& \lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{x}{-2x^2} \\ &=& \lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{1}{-2x} = 0 \end{eqnarray*}

Note

On note $ \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R}\cup \{+ \infty \, ; \, - \infty \}$ la droite réelle achevée.
$\overline{\text{dom}\:f} \: \backslash \: \text{dom}\:f$ est l'ensemble de toutes les valeurs de la variable $x$ adhérentes au domaine et ne faisant pas partie du domaine.

Pour l'exemple précédent, on pourra écrire : $\overline{\text{dom}\:f} \: \backslash \: \text{dom}\:f = \left\{\frac{1}{2};2;-\infty;+\infty\right\}$

Notion d'adhérence

Introduction

Définition

Judicieuses limites!