Le théorème des gendarmes

Théorème d'encadrement, théorème du pincement, théorème de l'étau ou théorème du sandwich.
Si deux fonctions f et h admettent la même limite en un réel $a$ et qu'une troisième fonction $g$ est prise en étau (ou encadrée ou prise en sandwich) entre f et h dans un voisinage de $a$ , alors $g$ admet la même limite en $a$ .
Il est utilisé afin de déterminer la limite d'une fonction en la comparant avec deux autres fonctions dont la limite est connue ou facilement calculable.

Théorème des gendarmes : Considérons un voisinage $\mathbb{I}$ de $a \in \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty; +\infty\}$ . Soit $f$ , $g$ et $h$ trois fonctions réelles définies sur $\mathbb{I}$ , sauf éventuellement en $a$ .

Si $\forall x \in \mathbb{I} \backslash \{a\}$ , on a : $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$
Et si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} h(x) = L$

Alors, on a $\lim\limits_{x \to a} g(x) = L$

Pour être précis,

$a$ peut être situé à l'intérieur de l'intervalle $\mathbb{I}$ ou à une de ses bornes (extrémités). En effet, dans ce dernier cas, on considérera la limite à gauche ou la limite à droite.
$a$ peut être fini ou infini. En effet, basé sur la remarque précédente, si, par exemple, $\mathbb{I} = [0, +\infty[$ , nous pouvons utiliser la limite lorsque $x \to +\infty$ .