Examens de juin en 5ème math 6h

Exercice 1 : Soit $f : \mathbb{R}^+_0 \to \mathbb{R} \: ; \: x \mapsto \dfrac1x$ et soit $T$ la tangente au graphe de de la fonction $f$ issue du point $P=(3;0)$ . Déterminez l'équation de cette tangente.

Solution

équation de la tangente : $y-0=m \ (x-3)$

intersection des deux courbes : $\frac1x=m \ (x-3)$

$\begin{align*} \frac1x=m \ (x-3) &\iff 1 = m \ x \ (x-3) \\ &\iff m x^2-3mx-1=0 \\ & \rho = 9m^2+4m=0 \end{align*}$

un seul point d'intersection si set seulement si $\rho=0 \iff m=0 \vee m=-\frac49$

seule solution possible : $m=-\frac49$

la tangente a pour équation : $y = -\frac49 \ x + frac43$

Autre approche :

$T\equiv y-\frac1a=-\frac{1}{a^2}(x-a)$ avec $a\in \mathbb{R}^+_0$ est l'équation de la tangente à $G_f$ en son point d'abscisse $a$ .

$P\in T \iff 0-\frac1a=-\frac{1}{a^2}(3-a) \iff a=\frac32$

Donc $T\equiv y-\frac23=-\frac{4}{9}\left(x-\frac32\right)$ ou plus simplement $4x+9y-12=0$

Exercice 2 : Trouver les dimensions du rectangle d'aire maximale que l'on peut inscrire entre l'axe des $x$ , l'axe des $y$ \ et la courbe d'équation $(x-9)^2$ . L'étude de la variation de l'aire du rectangle est obligatoire.

Solution

Soit $P=(x;y)$ le sommet du rectangle commun à la parabole. L'aire $A$ du rectangle est déterminé par $A=x\cdot y$ . Comme $y=(x-9)^2$ , on a $A=x\cdot(x-9)^2$ .

Etude de la variation de l'aire du rectangle :

contrainte : $x\in]0,9[$
$A'(x) = 3x^2-36x+81$
$A'(x)=0 \iff x=3 \textbf{ ou } x=9$

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & & 3 & & 9 \\ \hline A' & + & + & 0 & - & 0 \\ \hline A & 0 & \nearrow & \text{max} & \searrow & 0 \\ \hline \end{array}$

Les dimensions du rectangle d'aire maximale sont $x=3$ pour la largeur et $y=36$ pour la hauteur.