VRAI

\(\arcsin(x) \in \left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right] \implies \arcsin(x)-2 \in \left[-\tfrac{\pi}{2}-2;\tfrac{\pi}{2}-2\right]\)

puisque \(\tfrac{\pi}{2}-2<0\), on a bien \(\arcsin(x)-2<0\)

FAUX

\(\begin{aligned}[t] \arcsin^2 x -\arccos^2 x = 0 &\iff \left(\arcsin x +\arccos x\right)\left(\arcsin x -\arccos x\right) = 0 \\ &\iff \tfrac{\pi}{2}\left(\arcsin x -\arccos x\right) = 0 \\ &\iff \arcsin x =\arccos x \end{aligned}\)

Les graphes des fonctions \(\arcsin\) et \(\arccos\) ne se coupent qu'en un seul point.

L'équation de départ ne possède qu'une seule racine.

note : pour tout réel compris entre -1 et 1 : \(\arcsin x +\arccos x = \frac{\pi}{2}\)

VRAI \[\begin{aligned}[t] \lim\limits_{x\to 0} \frac{\arctan(2x)}{4x} &= \left[\frac{0}{0}\right] \\ &= \lim\limits_{x\to 0} \frac{\tfrac{2}{1+4x^2}}{4}\\ &= \lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{2 \left( 1+4x^2 \right) } = \frac12\\ \end{aligned}\]

VRAI \[\arccos\left(1-x^2\right)=0 \iff 1-x^2 = 1 \iff x^2=0 \iff x=0\]

FAUX car \(\frac{12}{11} \notin \left[-1;1\right]\)

FAUX \[\left( \arccos^2 x\right)' = -\frac{2\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\]

FAUX car \(\cos^2 \left( \arcsin x\right) = 1 - x^2\)

Formule de Moivre : $$\left( r \ \textbf{cis} \ \varphi \right)^n = r^n\ \textbf{cis} \left( n\cdot\varphi\right) $$ La forme trigonométrique de \( -1 + \mathbf{i} \sqrt{3} \) est \( 2\ \textbf{cis} \left(\frac{2\pi}{3} \right) \) et la formule de de Moivre \[ (-1 + \mathbf{i} \sqrt{3})^{343} = 2^{343} \ \textbf{cis}\left( 343 \times \frac{2\pi}{3}\right) \] donne rapidement \[\begin{aligned} &= 2^{343} \ \textbf{cis}\left(228\pi + 2\pi/3 \right) \\ &= 2^{343} \ \textbf{cis}\left( \frac{2\pi}{3}\right)\\ &= 2^{343}(-1 + \mathbf{i} \sqrt{3}) \end{aligned}\]

$\dom f = \intof{-\infty}{2}$ et $\ima f = \intof{-\infty}{3}$.

$\begin{aligned}[t] x=3-\sqrt{2-y} &\iff \sqrt{2-y}=3-x
&\iff {2-y}=\Par{3-x}^2
&\iff y=2-\Par{3-x}^2 \end{aligned} $

L'expression anaytique de $f^{-1}$ est $2-\Par{3-x}^2$ ou $-7+6x-x^2$. Plus précisément, \[f^{-1} : \intof{-\infty}{3} \to \intof{-\infty}{2} ~;~ x \mapsto 2-\Par{3-x}^2\] et $\dom f^{-1} = \intof{-\infty}{2}$ et $\ima f^{-1} = \intof{-\infty}{3}$.

\[\begin{aligned} \left( 2+ \mathbf{i}\right) z - (1- \mathbf{i} )^2 = 0 &\iff z = \frac{(1- \mathbf{i} )^2}{2+ \mathbf{i}}\\ &\iff z = \frac{-2\mathbf{i}}{2+ \mathbf{i}}\cdot \frac{2-\mathbf{i}}{2-\mathbf{i}}\\ &\iff z = \frac{-2-4\mathbf{i}}{5} \end{aligned} \] Solution : S\(= \left\lbrace -\frac{2}{5}-\frac{4}{5}\mathbf{i} \right\rbrace\)

$\rho = 1^2-4.1.(1+\mathbf{i}) = -3-4\mathbf{i}$ et RCC$\left( \rho\right) = \pm \left( 1-2\mathbf{i}\right) $ $$z=\begin{cases} \frac{-1+1-2\mathbf{i}}{2} = -\mathbf{i} \\\frac{-1-1+2\mathbf{i}}{2} = -1+\mathbf{i} \end{cases}$$ Solution : S\(= \left\lbrace -\mathbf{i} \ ; \ -1+\mathbf{i} \right\rbrace\)

1) CE : $-1\leq \frac1x \leq 1 \text{ et } x\neq 0 \iff x\in]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[$ \qquad $\dom f = ]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[$

2) \begin{align} \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) &= \lim\limits_{x \to -\infty} x\cdot\arcsin{\left(\frac1x\right)} = -\infty \cdot 0^- \qquad \text{FI}\\ &= \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{\arcsin{\left(\frac1x\right)}}{\frac{1}{x}} = \frac{0^-}{0^-}\\ &= \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\cdot \left ( -\frac{1}{x^2}\right ) }{-\frac{1}{x^2}}\\ &= \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = 1 \end{align}

3) d'un point de vue graphique, le graphe de $f$ possède une asymptote horizontale à gauche d'équation $y=1$

$\tan \left( \dfrac{5\pi}{3} \right) = \dfrac{\sqrt{12}\cdot m}{1+m^2}$ et $m<0$ \[\begin{aligned}[t] -\sqrt{3}= \dfrac{\sqrt{12}\cdot m}{1+m^2} &\iff -\sqrt{3}\left( 1+m^2\right) = \sqrt{12}\cdot m \\ &\iff 1+m^2 = -2 m \\ &\iff (1+m)^2 = 0 \\ &\iff m=-1 \end{aligned}\] $-1$ est l'unique valeur réelle du paramètre \(m\) qui vérifie \(\text{arg} \left( z\right) = \frac{5\pi}{3}\)