Examen rhétos math 6h -- Décembre 2023

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$\newcommand{\dom}[1]{\textbf{dom}\,#1} \newcommand{\ima}[1]{\textbf{im}\,#1} \def\lr#1#2#3{\ensuremath{\left#1#3\right#2}} \newcommand{\intf}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\into}[2]{\left] #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intfo}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intof}[2]{\left] #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\Par}[1]{\left( #1 \right)}$

Exercice 1 : Indiquez si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Écrivez vos réponses sur votre feuille à en-tête. Il n'est pas nécessaire de justifier vos réponses.

n° 1.1 : La fonction $x \mapsto \arcsin(x)-2$ est toujours strictement négative $\forall x \in \left[-1;1\right]$

Solution

VRAI

$\arcsin(x) \in \left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right] \implies \arcsin(x)-2 \in \left[-\tfrac{\pi}{2}-2;\tfrac{\pi}{2}-2\right]$

puisque $\tfrac{\pi}{2}-2<0$ , on a bien $\arcsin(x)-2<0$

n° 1.2 : L'équation $\arcsin^2 x -\arccos^2 x = 0$ possède deux racines distinctes

Solution

FAUX

$\begin{aligned}[t] \arcsin^2 x -\arccos^2 x = 0 &\iff \left(\arcsin x +\arccos x\right)\left(\arcsin x -\arccos x\right) = 0 \\ &\iff \tfrac{\pi}{2}\left(\arcsin x -\arccos x\right) = 0 \\ &\iff \arcsin x =\arccos x \end{aligned}$

Les graphes des fonctions $\arcsin$ et $\arccos$ ne se coupent qu'en un seul point.

L'équation de départ ne possède qu'une seule racine.

note : pour tout réel compris entre -1 et 1 : $\arcsin x +\arccos x = \frac{\pi}{2}$

n° 1.3 : $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\arctan(2x)}{4x}=\frac{1}{2}$

Solution

VRAI $\begin{aligned}[t] \lim\limits_{x\to 0} \frac{\arctan(2x)}{4x} &= \left[\frac{0}{0}\right] \\ &= \lim\limits_{x\to 0} \frac{\tfrac{2}{1+4x^2}}{4}\\ &= \lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{2 \left( 1+4x^2 \right) } = \frac12\\ \end{aligned}$

n° 1.4 : $\arccos\left(1-x^2\right)=0 \iff x=0$

Solution

VRAI $\arccos\left(1-x^2\right)=0 \iff 1-x^2 = 1 \iff x^2=0 \iff x=0$

n° 1.5 : $\sin \left( \arcsin \left( \frac{12}{11}\right) \right) = \frac{12}{11}$

Solution

FAUX car $\frac{12}{11} \notin \left[-1;1\right]$

n° 1.6 : La dérivée de $f(x) = \arccos^2 x$ est $\frac{2\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}$

Solution

FAUX $\left( \arccos^2 x\right)' = -\frac{2\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}$

n° 1.7 : $\forall x\in \left[-1;1\right] \ : \ \cos^2 \left( \arcsin x\right) = 1+x^2$

Solution

FAUX car $\cos^2 \left( \arcsin x\right) = 1 - x^2$

Exercice 2 : Citez la formule de De Moivre (on ne demande pas de la démontrer). Appliquez-la pour calculer la forme algébrique de $\left( -1 + \mathbf{i} \sqrt{3}\right) ^{343}$ .

Solution

Formule de Moivre : $\left( r \ \textbf{cis} \ \varphi \right)^n = r^n\ \textbf{cis} \left( n\cdot\varphi\right)$ La forme trigonométrique de $-1 + \mathbf{i} \sqrt{3}$ est $2\ \textbf{cis} \left(\frac{2\pi}{3} \right)$ et la formule de de Moivre $(-1 + \mathbf{i} \sqrt{3})^{343} = 2^{343} \ \textbf{cis}\left( 343 \times \frac{2\pi}{3}\right)$ donne rapidement $\begin{aligned} &= 2^{343} \ \textbf{cis}\left(228\pi + 2\pi/3 \right) \\ &= 2^{343} \ \textbf{cis}\left( \frac{2\pi}{3}\right)\\ &= 2^{343}(-1 + \mathbf{i} \sqrt{3}) \end{aligned}$

Exercice 3 : On considère la fonction $f : x \mapsto 3-\sqrt{2-x}$

n° 3.1 : Donnez $\dom f$ et $\ima f$ .

Solution

$\dom f = \intof{-\infty}{2}$ et $\ima f = \intof{-\infty}{3}$ .

n° 3.2 : Cette fonction possède une réciproque fonctionnelle. Quelle est son expression analytique ? Indiquez son domaine d'existence et son ensemble image.

Solution

$\begin{aligned}[t] x=3-\sqrt{2-y} &\iff \sqrt{2-y}=3-x &\iff {2-y}=\Par{3-x}^2 &\iff y=2-\Par{3-x}^2 \end{aligned}$

L'expression anaytique de $f^{-1}$ est $2-\Par{3-x}^2$ ou $-7+6x-x^2$ . Plus précisément, $f^{-1} : \intof{-\infty}{3} \to \intof{-\infty}{2} ~;~ x \mapsto 2-\Par{3-x}^2$ et $\dom f^{-1} = \intof{-\infty}{2}$ et $\ima f^{-1} = \intof{-\infty}{3}$ .

Exercice 4 : Résoudre dans $\mathbb C$ les équations en l'inconnue $z$ suivantes :

n° 4.1 : $\left( 2+ \mathbf{i}\right) z - (1- \mathbf{i} )^2 = 0$

Solution

$\begin{aligned} \left( 2+ \mathbf{i}\right) z - (1- \mathbf{i} )^2 = 0 &\iff z = \frac{(1- \mathbf{i} )^2}{2+ \mathbf{i}}\\ &\iff z = \frac{-2\mathbf{i}}{2+ \mathbf{i}}\cdot \frac{2-\mathbf{i}}{2-\mathbf{i}}\\ &\iff z = \frac{-2-4\mathbf{i}}{5} \end{aligned}$ Solution : S $= \left\lbrace -\frac{2}{5}-\frac{4}{5}\mathbf{i} \right\rbrace$

n° 4.2 : $z^2+z+1+\mathbf{i}=0$

Solution

$\rho = 1^2-4.1.(1+\mathbf{i}) = -3-4\mathbf{i}$ et RCC $\left( \rho\right) = \pm \left( 1-2\mathbf{i}\right)$ $z=\begin{cases} \frac{-1+1-2\mathbf{i}}{2} = -\mathbf{i} \\\frac{-1-1+2\mathbf{i}}{2} = -1+\mathbf{i} \end{cases}$ Solution : S $= \left\lbrace -\mathbf{i} \ ; \ -1+\mathbf{i} \right\rbrace$

Exercice 5 : Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \; ; \; x \mapsto x \cdot \arcsin{\left(\frac2x\right)}$

n° 5.1 : Détermine son domaine de définition.

n° 5.2 : Calcule en détail $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

n° 5.3 : Que signifie, d'un point de vue graphique, le résultat obtenu au point précédent ?

Solution

1) CE : $-1\leq \frac1x \leq 1 \text{ et } x\neq 0 \iff x\in]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[$ \qquad $\dom f = ]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[$

2) $\begin{align} \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) &= \lim\limits_{x \to -\infty} x\cdot\arcsin{\left(\frac1x\right)} = -\infty \cdot 0^- \qquad \text{FI}\\ &= \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{\arcsin{\left(\frac1x\right)}}{\frac{1}{x}} = \frac{0^-}{0^-}\\ &= \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\cdot \left ( -\frac{1}{x^2}\right ) }{-\frac{1}{x^2}}\\ &= \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = 1 \end{align}$

3) d'un point de vue graphique, le graphe de $f$ possède une asymptote horizontale à d'équation $y=1$

Exercice 6 : Soit $z=\left( 1+m^2\right) + \left( \sqrt{12}\cdot m\right) \mathbf{i}$ , un nombre complexe où $m$ est un paramètre réel.

Recherchez l'unique valeur réelle du paramètre $m$ qui vérifie $\text{arg} \left( z\right) = \frac{5\pi}{3}$

Solution

$\tan \left( \dfrac{5\pi}{3} \right) = \dfrac{\sqrt{12}\cdot m}{1+m^2}$ et $m<0$ $\begin{aligned}[t] -\sqrt{3}= \dfrac{\sqrt{12}\cdot m}{1+m^2} &\iff -\sqrt{3}\left( 1+m^2\right) = \sqrt{12}\cdot m \\ &\iff 1+m^2 = -2 m \\ &\iff (1+m)^2 = 0 \\ &\iff m=-1 \end{aligned}$ $-1$ est l'unique valeur réelle du paramètre $m$ qui vérifie $\text{arg} \left( z\right) = \frac{5\pi}{3}$