examens:6eme:2023-2024:juin

Examen rhétos math 6h -- Juin 2024

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Exercice 1 : Écrire l'expression suivante sous la forme d'une fraction simplifiée loga3a+loga24a+loga35aaR+0

Solution

Solution

loga3a+loga24a+loga35a=13logaa+14loga2a+15loga3a=13logaa+18loga2a2+115loga3a3=13+18+115=2140

Exercice 2 : Quelle est la réponse correcte : exp2(x)exp0,5(1x)=

(A) 2x (B) (12)x (C) 2x21x (D) 21x2x (E) x2xx (F) 21

Solution

Solution

exp2(x)exp0,5(1x)=2x(12)1x=2x21x=2x1x=2x21xC

Exercice 3 : Soient les fonctions f:]1;+[]1;+[R ; x1x+1 et g:RR ; xx+1.
On donne également la droite dx=2.
Réaliser un schéma de la situation puis calculer l'aire de la région du plan délimitée par l'axe des abscisses, les graphes de f et g, et la droite d.

Solution

Solution

aire=01x+1 dx+201x+1 dx=23+ln3

source figure

source figure

\documentclass{standalone}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage{tikz,tkz-fct}
\usetikzlibrary{shapes,arrows,positioning,calc}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\tkzInit[xmin=-2,xmax= 4,xstep=1,ymin=-2,ymax=1,ystep=1]
\tkzDrawX[label={}]
\tkzDrawY[label={}]
\tkzFct[very thick, domain = -0.9:3]{-1/(x+1)}
\tkzDrawArea[pattern=north east lines,domain = 0:2]
\tkzFct[very thick, domain = -1:3]{-sqrt(x+1)}
\tkzDrawArea[pattern=north west lines,domain = -1:0]
\tkzVLine[style = dashed,thin]{2}
\tkzLabelX[orig=false,node font=\tiny,above = 6pt]
\tkzLabelY[orig=false,node font=\tiny]
\end{tikzpicture}
\end{document}

Exercice 4 : Rechercher le domaine de définition de la fonction f:xlog(2x)+2

Solution

Solution

Conditions d'existence : 2x>0 et log(2x)+20 2x>0x<2log(2x)+20log(2x)2log(2x)log(102)2x102x1,99 conclusion : dom f=];1,99]

Exercice 5 : On donne f:xxln(x2)

  1. Dresser son tableau de variations ;
  2. Indiquer l'abscisse et l'ordonnée des éventuels extremums du graphe de f.

Solution

Solution

  1. Toujours rechercher le domaine d'existence d'une fonction dont on donne l'expression analytique :
    1. x2>0x0
    2. ln(x2)0x21x±1
  2. dom f=R0{±1}
  3. Dérivée première : (xln(x2))=ln(x2)x1x22xln2(x2)=ln(x2)2ln2(x2)
  4. racines de f : ln(x2)2=0x2=e2x=±e
  5. remarque : f est une fonction impaire !

Exercice 6 :

Soit Calculer les intégrales suivantes

  1. xex2 dx
  2.  dxx2+4x+5
  3. 2xe2x dx
  4. 3x3+3x dx

Solution

Solution

1. u-subst. : u=x2 du=2x dx

xex2 dx=12eu du=12ex2+C


2.  dxx2+4x+5= dxx2+4x+4+1= dx(x+2)2+1=arctan(x+2)+C


3. 2xe2x dx=x d e2x=xe2x+e2x dx=xe2x12e2x+C=(x+12) e2x+C


4. 3x3+3x dx=1x dxxx2+3 dx=ln|x|12ln(x2+3)+C

Fractions partielles : 3x(x2+3)=Ax+Bx+Cx2+3

A(x2+3)+(Bx+C)x=3(A+B)x2+Cx+3A=3A=1, B=1, C=0

Exercice 7 : Évaluer le volume du solide engendré par la révolution autour de la droite d'équation y=3 de l'aire découpée par cette droite dans la courbe d'équation y=4xx2 (réaliser un schéma de la situation).

Solution

Solution

Attention, l'axe de rotation a pour équation y=3 !
Il faut aussi résoudre l'équation 4xx2=3 pour obtenir les bornes d'intégration : x0=1 et x1=3 V=π31(4xx23)2 dx=16π15

développement de (4xx23)2 : (4xx23)2=(x24x+3)(x24x+3)=x2(x2)+x2(4x)+x2(3)+(4x)(x2)+(4x)(4x)+(4x)(3)+3(x2)+3(4x)+3(3)=x44x3+3x24x3+16x212x+3x212x+9=x48x3+22x224x+9

Exercice 8 : Un joueur lance un dé bien équilibré. Avant de lancer le dé, il doit payer une mise de m euros. Si le dé présente un nombre de points supérieur ou égal à 4, le joueur gagne en euros le double du nombre de points indiqué par le dé. Sinon, il ne gagne rien. Quelle doit être la mise maximum m pour s'assurer que ce jeu ne lui soit pas défavorable ?

Solution

Solution

Les gains nets pour chaque résultat :

  • Si le dé montre un 1, 2 ou 3 : Le joueur perd la mise m.
  • Si le dé montre un 4, 5 ou 6 : Le joueur gagne respectivement 8m, 10m, ou 12m.

Espérance de gain :

E(X)=16(0m)+16(0m)+16(0m)+16(8m)+16(10m)+16(12m)=16(6m+30)

Pour que ce jeu ne soit pas défavorable au joueur, l'espérance de gain doit être positive ou nulle : 6m+300m5

Conclusion : La mise maximum m doit être inférieure à 5 euros.

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  • Dernière modification : 2024/12/21 10:57
  • de Frédéric Lancereau