Exercices sur les ellipses

Exercice 1 : Pour chacune des ellipses suivantes, indiquer la coordonnée du centre, des sommets, des foyers et des points d'intersection avec les axes du repère cartésien après avoir trouvé les équations cartésiennes pré-réduites et développées.

Solution :

ellipse de gauche : centre $\left( 3,0 \right)$ ; sommets : $\left( 7,1 \right)$, $\left( 3,2 \right)$, $\left( -1,0 \right)$, $\left( 3,-2 \right)$ ; foyers $\left( 3 \pm 2\sqrt{3},0 \right)$

$\mathcal{E}_1 \equiv \frac{\left( x-3 \right)^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ ou $\mathcal{E}_1 \equiv x^2 - 6x + 4y^2 - 7 = 0$

ellipse de droite : centre $\left( -1,-2 \right)$ ; sommets : $\left( 2,-2 \right)$, $\left( -1,2 \right)$, $\left( -4,-2 \right)$, $\left( -1,-6 \right)$ ; foyers $\left( -1,-2 \pm \sqrt{7} \right)$

$\mathcal{E}_2 \equiv \frac{\left( x+1 \right)^2}{9} + \frac{\left( y+2 \right)^2}{16} = 1$ ou $\mathcal{E}_2 \equiv 16x^2 + 9y^2 + 32x + 36y - 92 = 0$.

Exercice 2 : Soit le lieu $\Gamma$ des points $M(x,y)$ qui verifient $x^2+y^2-x+3y+1=0$

Montrer que l'on peut mettre l'équation de $\Gamma$ sous la forme réduite $X^2+Y^2=\frac{3}{2}$
Quelle est la nature (cercle, ellipse, hyperbole) de $\Gamma$ ? Indiquer ses caractéristiques.

Solution :

$\begin{aligned}[t] x^2+y^2-x+3y+1=0 &\iff x^2-x+ \tfrac{1}{4}- \tfrac{1}{4} +y^2+3y+ \tfrac{9}{4}-\tfrac{9}{4}+1=0\\ &\iff \left( x-\tfrac{1}{2} \right)^2- \tfrac{1}{4} +\left( y-\tfrac{3}{2} \right)^2-\tfrac{9}{4}+1=0\\ &\iff \left( x-\tfrac{1}{2} \right)^2 +\left( y-\tfrac{3}{2} \right)^2 =\tfrac{3}{2} \iff X^2+Y^2=\tfrac{3}{2}\\ \end{aligned}$
la nature de la conique est un cercle de rayon $\sqrt{\frac{3}{2}}$ et de centre $\left( \frac{1}{2} ,\frac{3}{2}\right)$

Exercice 3 : Considérons le lieu $\Gamma$ des points $M(x, y)$ qui vérifient : $ 4x^2 + 9y^2 - 24x + 36y + 36 = 0 $

Montrez que l'on peut mettre l'équation de $\Gamma$ sous la forme (pré-)réduite $\left(\frac{x - 3}{3}\right)^2 + \left(\frac{y + 2}{2}\right)^2 = 1 $
Déterminez l'équation réduite de la conique $\Gamma$. Quelle est la nature de $\Gamma$ ? En déduire ses caractéristiques (la coordonnée de son centre, la longueur du grand axe, du petit axe, la distance entre les deux foyers).

Solution :

$\begin{aligned}[t] 4x^2 - 24x + 9y^2 + 36y + 36 = 0 &\iff 4(x^2 - 6x) + 9(y^2 + 4y)+ 36 = 0\\ &\iff 4(x^2 - 6x+9)-36 + 9(y^2 + 4y+4)-36+ 36 = 0\\ &\iff 4(x - 3)^2 - 36 + 9(y + 2)^2 - 36 + 36 = 0\\ &\iff 4(x - 3)^2 + 9(y + 2)^2 = 36 \end{aligned}$
Divisons toute l'équation par 36 : $ \frac{(x - 3)^2}{9} + \frac{(y + 2)^2}{4} = 1 $
l'équation réduite de la conique est $\frac{X^2}{3^2} + \frac{Y^2}{2^2} = 1$ : cette forme correspond à celle d'une ellipse. centre de $\Gamma$ : $(3,-2)$, longueur du grand axe $a=3$, longueur du petit axe $b=2$ axe focal horizontal : $d(\mathrm{F,F'}) = 2c = 2 \sqrt{9-4} = 2 \sqrt{5}$

Exercice 4 : Déterminer pour chacune des ellipses définies analytiquement suivantes l'équation réduite (ce qu'on appelle aussi la forme canonique de l'équation de la conique), le centre (de symétrie), les demi-axes ainsi que les sommets :

$9x^2 + 4y^2 - 18x - 24y + 9 = 0 $
$x^2 + 4y^2 - 6x + 8y - 3 = 0 $
$5x^2 + y^2 - 10x + 4y + 4 = 0 $
$2x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 6 = 0 $
$3x^2 + 5y^2 - 12x + 10y + 8 = 0 $
$3x^2 + 5y^2 - 12x + 10y + 24 = 0 $

Solution :

$9x^2 + 4y^2 - 18x - 24y + 9 = 0 \iff \frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1$
1. Caractéristiques de l'ellipse :
  1. Centre : $(1, 3)$.
  2. Axes : Demi-axe horizontal $a = 2$ et Demi-axe vertical $b = 3$.
  3. Sommets :
    1. Horizontal : $(1 \pm 2, 3) = (-1, 3)$ et $(3, 3)$.
    2. Vertical : $(1, 3 \pm 3) = (1, 0)$ et $(1, 6)$.
$x^2 + 4y^2 - 6x + 8y - 3 = 0 \iff \frac{(x - 3)^2}{16} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$
1. Caractéristiques de l'ellipse :
  1. Centre : $(3, -1)$.
  2. Axes :
    1. Demi-axe horizontal $a = 4$.
    2. Demi-axe vertical $b = 2$.
  3. Sommets :
    1. Horizontal : $(3 \pm 4, -1) = (-1, -1)$ et $(7, -1)$.
    2. Vertical : $(3, -1 \pm 2) = (3, -3)$ et $(3, 1)$.
$5x^2 + y^2 - 10x + 4y + 4 = 0 \iff \frac{(x - 1)^2}{1} + \frac{(y + 2)^2}{5} = 1$
1. Caractéristiques de l'ellipse :
  1. Centre : $(1, -2)$.
  2. Axes :
    1. Demi-axe horizontal $a = 1$.
    2. Demi-axe vertical $b = \sqrt{5}$.
  3. Sommets :
    1. Horizontal : $(1 \pm 1, -2) = (0, -2)$ et $(2, -2)$.
    2. Vertical : $(1, -2 \pm \sqrt{5}) \approx (1, -4.24)$ et $(1, 0.24)$.
$ \begin{aligned}[t] 2x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 6 = 0 &\iff x^2 + 2y^2 - 2x + 4y + 3 = 0 \\ &\iff x^2 - 2x +1 - 1 + 2(y^2 + 2y+1)-2 + 3 = 0 \\ &\iff (x-1)^2+2(y+1)^2=0 \end{aligned}$
1. C'est une ellipse dégénérée puisqu'elle est réduite à un seul point de coordonnée $(1,-1)$
$ 3x^2 + 5y^2 - 12x + 10y + 8 = 0 \iff \frac{(x - 2)^2}{3} + \frac{(y + 1)^2}{\frac{9}{5}} = 1 $
1. Caractéristiques de l'ellipse :
  1. Centre : $(2, -1)$.
  2. Axes :
    1. Demi-axe horizontal $a = \sqrt{3}$.
    2. Demi-axe vertical $b = \sqrt{\frac{9}{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.34$.
  3. Longueur des axes :
    1. La longueur de l'axe horizontal est $2a = 2 \times \sqrt{3} \approx 3.46$.
    2. La longueur de l'axe vertical est $2b = 2 \times \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 2.68$.
  4. Sommets :
    1. Horizontal : $(2 \pm \sqrt{3}, -1) \approx (2 \pm 1.732, -1) = (0.268, -1)$ et $(3.732, -1)$.
    2. Vertical : $(2, -1 \pm \frac{3}{\sqrt{5}}) \approx (2, -1 \pm 1.34) = (2, -2.34)$ et $(2, 0.34)$.
$3x^2 + 5y^2 - 12x + 10y + 24 = 0 \iff 3(x - 2)^2 + 5(y + 1)^2 = -7$
1. Cette équation n'est pas possible car une somme de deux termes positifs ne peut pas être négative. Le lieu des points est l'ensemble vide.

Autres exos sans solution

$2x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 1 = 0 $
$2x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 9 = 0 $
$3x^2 + 5y^2 - 12x + 10y + 17 = 0 $
$4x^2 + 49y^2 - 16x + 294y + 261 = 0 $

Exercice 5 : Soit $a\in\mathbb{R}_0^+$ et $\Gamma\equiv\frac{x^2}{a^2}+\frac{(y+2)^2}{9}=1$. Rechercher l'équation cartésienne implicite de la tangente à $\Gamma$ en $A=(-2,0)\in\Gamma$.

Solution :

$T\equiv 5x-4y+10=0$

Exercice 6 : Quelle est l'équation cartésienne des tangentes aux ellipses suivantes ?

Solution :

ellipse de droite : $T\equiv x+2\sqrt{3}y-8=0$
ellipse de gauche : $T\equiv 4\sqrt{63}x-27y+144=0$