Géométrie synthétique plane

Rappels de quelques propriétés et théorèmes

Le beamer du cours : → Géometrie Synthetique 2d

Définition et objectifs
- La géométrie synthétique s'intéresse aux propriétés fondamentales des figures, telles que les angles, les distances et les relations d'incidence.
- Elle repose sur des axiomes et des démonstrations logiques.
Notions fondamentales
- Introduction aux concepts de points, droites, segments et plans.
- Relations d'incidence : alignement, intersection et transformations géométriques.
Axiomes et théorèmes classiques
- Présentation des postulats d'Euclide.
- Théorèmes fondamentaux : Thalès, Pythagore, et propriétés des figures géométriques usuelles (triangles, cercles, quadrilatères).
Transformations géométriques
- Étude des symétries, translations, rotations et homothéties.
- Mise en évidence des propriétés de conservation des distances et des angles.
Applications pratiques
- Utilisation des concepts pour résoudre des problèmes concrets en géométrie plane.
Approche axiomatique
- Mise en avant de la démonstration rigoureuse et de la logique déductive.
- Priorité donnée aux raisonnements plutôt qu'aux calculs analytiques.

La mesure d’un angle inscrit dans un cercle de centre $O$ est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre reposant sur le même arc. En particulier, un angle inscrit reposant sur un demi-cercle est un angle droit. Les mesures des angles inscrits dans un cercle de centre $O$, reposant sur le même arc, sont égales.

Étant donné un cercle de centre $O$ et une corde $AB$ de ce cercle. La droite $AC$ est tangente à ce cercle au point $A$, tandis que le point $P$ se trouve sur ce cercle et n’appartient pas à l’angle $CAB$. Alors : \[ |\angle APB| = |\angle CAB| \quad \text{et} \quad |\angle AOB| = 2 \cdot |\angle CAB|. \]

Définition : l'angle tangentiel $\angle CAB$ est un angle dont le sommet est sur le cercle, un côté est une sécante et l’autre la tangente au sommet.

Nous choisissons parmi les angles au centre $\angle AOB$ celui qui est associé à l’arc situé à l’intérieur de l’angle $CAB$.

Si les tangentes au cercle aux points $A$ et $B$ se croisent en un point $P$, alors : $|PA|=|PB|$

Si d'un point pris dans le plan du cercle, on mène des sécantes à ce cercle, le produit des distances de ce point aux deux points d'intersection de chaque sécante avec la circonférence est constant, quelle que soit la sécante : \[|EA| \cdot |EB| = |EC| \cdot |ED|\]

Preuve : Les angles $\angle AED$ et $\angle BEC$ sont égaux car opposés par le sommet.

Les angles $\angle CDA$ et $\angle CBA$ sont égaux car ils interceptent le même arc.

Les triangles AED et BCE sont semblables

Conclusion : \[ \frac{|EA|}{|EC|} = \frac{|ED|}{|EB|} \implies |EA| \cdot |EB| = |EC| \cdot |ED| \]

La démonstration est la même dans le cas où E est à l'extérieur du cercle $$|AE|\cdot |DE| = |BE|\cdot |CE|$$

Définition : Soit un point E extérieur à un cercle et soit une sécante qui coupe le cercle en A et B, alors la puissance de E est définie par le produit \[|EA| \cdot |EB|\].

Note : la puissance de E est constante quand la droite pivote autour du point E (!).

Soient $ E $ le point de concours de deux droites, $ A $ et $ B $ deux points de la première, $ C $ et $ D $ deux points de la seconde.

Si $ |EA| \cdot |EB| = |EC| \cdot |ED| $, alors les points $ A $, $ B $, $ C $ et $ D $ appartiennent à une même circonférence.

En effet, la circonférence passant par $ A $, $ B $ et $ C $ coupe la droite $ EC $ en un point $ D' $ tel que : \[ |EA| \cdot |EB| = |EC| \cdot |ED'| \]

La comparaison avec la relation donnée montre que $ |ED| = |ED'| $, donc $ D' $ est confondu avec $ D $.

Étant donné une droite coupant le cercle en $A$ et $B$, et une tangente à ce cercle au point $C$. Si ces droites se croisent au point $P$, alors : \[ \textrm{puissance du point P : } \quad |PA| \cdot |PB| = |PC|^2. \]

Autrement dit, si par un point extérieur à un cercle, on mène une tangente et une sécante, la tangente est moyenne proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure.

Soient $ P $ le point de concours de deux droites, $ A $ et $ B $ deux points de la première, $ C $ un point de la seconde.

Si $ |PA| \cdot |PB| = |PC|^2 $, alors les points $ A $, $ B $, et $ C $ appartiennent à une circonférence tangente en $ C $ à la droite $ PC $.

En effet, supposons que la circonférence passant par $ A $, $ B $, et $ C $ coupe la droite $ PC $ en un second point $ C' $. On aurait alors : \[ |PA| \cdot |PB| = |PC| \cdot |PC'| \]

Or, il est donné que : \[ |PA| \cdot |PB| = |PC|^2 \]

D'où : \[ |PC'| = |PC| \]

Ainsi, $ C' $ est confondu avec $ C $.