Géométrie synthétique plane

Rappels de quelques propriétés et théorèmes

Le beamer du cours : → Géometrie Synthetique 2d

• Définition et objectifs
  • La géométrie synthétique s'intéresse aux propriétés fondamentales des figures, telles que les angles, les distances et les relations d'incidence.
  • Elle repose sur des axiomes et des démonstrations logiques.
• Notions fondamentales
  • Introduction aux concepts de points, droites, segments et plans.
  • Relations d'incidence : alignement, intersection et transformations géométriques.
• Axiomes et théorèmes classiques
  • Présentation des postulats d'Euclide.
  • Théorèmes fondamentaux : Thalès, Pythagore, et propriétés des figures géométriques usuelles (triangles, cercles, quadrilatères).
• Transformations géométriques
  • Étude des symétries, translations, rotations et homothéties.
  • Mise en évidence des propriétés de conservation des distances et des angles.
• Applications pratiques
  • Utilisation des concepts pour résoudre des problèmes concrets en géométrie plane.
• Approche axiomatique
  • Mise en avant de la démonstration rigoureuse et de la logique déductive.
  • Priorité donnée aux raisonnements plutôt qu'aux calculs analytiques.

→ Lien vers le cours de 5ème math 6+2

La mesure d’un angle inscrit dans un cercle de centre $O$ est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre reposant sur le même arc. En particulier, un angle inscrit reposant sur un demi-cercle est un angle droit. Les mesures des angles inscrits dans un cercle de centre $O$, reposant sur le même arc, sont égales.

Étant donné un cercle de centre $O$ et une corde $AB$ de ce cercle. La droite $AC$ est tangente à ce cercle au point $A$, tandis que le point $P$ se trouve sur ce cercle et n’appartient pas à l’angle $CAB$. Alors : $$|\angle APB| = |\angle CAB| \quad \text{et} \quad |\angle AOB| = 2 \cdot |\angle CAB|.$$

Nous choisissons parmi les angles au centre $\angle AOB$ celui qui est associé à l’arc situé à l’intérieur de l’angle $CAB$.

Si les tangentes au cercle aux points $A$ et $B$ se croisent en un point $P$, alors : $|PA|=|PB|$

Preuve : Les angles $\angle AED$ et $\angle BEC$ sont égaux car opposés par le sommet.

Les angles $\angle CDA$ et $\angle CBA$ sont égaux car ils interceptent le même arc.

Les triangles AED et BCE sont semblables

Conclusion : $$\frac{|EA|}{|EC|} = \frac{|ED|}{|EB|} \implies |EA| \cdot |EB| = |EC| \cdot |ED|$$

La démonstration est la même dans le cas où E est à l'extérieur du cercle $$|AE|\cdot |DE| = |BE|\cdot |CE|$$

En effet, la circonférence passant par $A$, $B$ et $C$ coupe la droite $EC$ en un point $D'$ tel que : $$|EA| \cdot |EB| = |EC| \cdot |ED'|$$

La comparaison avec la relation donnée montre que $|ED| = |ED'|$, donc $D'$ est confondu avec $D$.

Autrement dit, si par un point extérieur à un cercle, on mène une tangente et une sécante, la tangente est moyenne proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure.

En effet, supposons que la circonférence passant par $A$, $B$, et $C$ coupe la droite $PC$ en un second point $C'$. On aurait alors : $$|PA| \cdot |PB| = |PC| \cdot |PC'|$$

Or, il est donné que : $$|PA| \cdot |PB| = |PC|^2$$

D'où : $$|PC'| = |PC|$$

Ainsi, $C'$ est confondu avec $C$.

Par le point $C$, on trace la parallèle à $B E$ qui rencontre le prolongement de $A D$ en $F$

Les deux triangles $\triangle BDG$ et $\triangle CDF$ sont égaux, car ils ont deux angles égaux et un coté égal $\Longrightarrow |GD| = |DF|$

$\triangle ACF$ et $\triangle AEG$ sont deux triangles semblables ($d_{GE} \parallel d_{FC}$).

Comme $|AE|=|EC|$, on a $|AG|=|GF|$ (et aussi $2\cdot |GE| = |FC|$).

Par conséquent, $2\cdot |DG| = |AG|$ et $|AG|=2/3 \: |AD|$

CQFD