Analyse numérique
Les méthodes numériques sont des techniques pratiques, souvent programmables sur ordinateur, qui permettent de résoudre de manière approchée des problèmes variés, tels que les équations différentielles ou les calculs d'intégrales. Contrairement aux approches théoriques, elles fournissent des résultats chiffrés accompagnés d'une estimation de leur précision. Les défis posés par l'analyse numérique touchent de nombreuses branches des mathématiques et contribuent continuellement à leur développement. \( \newcommand{\intf}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\into}[2]{\left] #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intfo}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intof}[2]{\left] #1\, ; #2 \right]} \)
Estimer la racine carrée d'un nombre positif
Héron d'Alexandrie a développé une méthode ingénieuse pour estimer la racine carrée d'un nombre positif \( a \), bien avant l'époque de Newton et du calcul différentiel. Cette technique repose sur un principe géométrique simple : déterminer un carré dont l'aire est égale à \( a \).
Pour ce faire, un rectangle est considéré avec un côté de longueur \( x \) et l'autre de longueur \( \frac{a}{x} \). L'aire de ce rectangle est \( x \times \frac{a}{x} = a \).
La méthode de Héron consiste à transformer ce rectangle en un carré tout en conservant son aire. À chaque étape, la moyenne arithmétique des deux côtés du rectangle est calculée pour obtenir une nouvelle longueur :
\[ x_{\text{nouveau}} = \frac{1}{2} \left( x + \frac{a}{x} \right) \]
Cette nouvelle longueur est une meilleure approximation de la racine carrée de \( a \) que les valeurs initiales. En répétant ce processus, le rectangle se rapproche progressivement d'un carré parfait, dont les côtés sont égaux à \( \sqrt{a} \).
La beauté de cette méthode réside dans sa convergence rapide. Chaque itération améliore l'approximation, rendant le processus simple et efficace. En quelques étapes seulement, une valeur très proche de la racine carrée exacte de \( a \) est obtenue.
Mise en oeuvre de cette méthode :
- Choisir une estimation initiale $u_0$ de la racine carrée du nombre $a$. Cette estimation doit être positive.
- Utiliser la formule de récurrence suivante pour affiner l'estimation : \[ u_{n+1} = \frac{1}{2} \left( u_n + \frac{a}{u_n} \right) \] Ici, \( u_n \) est l'estimation actuelle de la racine carrée, et \( u_{n+1} \) est la nouvelle estimation.
- Répéter le processus itératif jusqu'à ce que la différence entre \( u_n \) et \( u_{n+1} \) soit inférieure à une tolérance prédéfinie, ou jusqu'à ce que le nombre souhaité de décimales soit atteint.
Approximation par Défaut et par Excès :
- Si \( x_n \) est une approximation par défaut (c'est-à-dire \( x_n < \sqrt{a} \)), alors \(\frac{a}{x_n}\) est une approximation par excès (c'est-à-dire \(\frac{a}{x_n} > \sqrt{a}\)).
- Inversement, si \( x_n \) est une approximation par excès, alors \(\frac{a}{x_n}\) est une approximation par défaut.
- Moyenne Arithmétique : la moyenne arithmétique de ces deux approximations, donnée par la formule : \( u_{n+1} = \frac{1}{2} \left( u_n + \frac{a}{u_n} \right) \) fournit une meilleure approximation de \(\sqrt{a}\) que les deux précédentes.
Application à $\sqrt{2}$
Le réel $\sqrt{2}$ est compris dans l'intervalle $\into{x_0}{\frac{2}{x_0}}=\into{1}{2}$. Pour s'en convaincre, il suffit de vérifier que $1^2<\left(\sqrt{2}\right)^2<2^2$.
On considère la valeur moyenne des bornes de l'intervalle $\into{1}{2}$, soit $\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$. On vérifie aisément que $\frac{3}{2} > \sqrt{2}$ en comparant $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$ avec $\left(\sqrt{2}\right)^2 =2$.
On obtient donc $$1 < \sqrt{2} < \frac{3}{2}$$ Cela situe $\sqrt{2}$ entre $1$ et $1,5$ à $0,5$ près.
On généralise le processus :
- Si $0<x<\sqrt{2}$ alors $\frac{2}{x}>\sqrt{2}$ et $$ x< \sqrt{2}<\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right) \quad [1]$$ Donc $\sqrt{2}$ est situé entre $x$ et $\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)$.
- Par ailleurs, si $\sqrt{2}<x$ alors $\frac{2}{x}<\sqrt{2}$ et $$ \frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)< \sqrt{2}<x \quad [2]$$ Dès lors $\sqrt{2}$ est compris entre $\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)$ et $x$.
En fixant $x=1$ dans l'équation (1) ci-dessus, on obtient : $$1 < \sqrt{2} < \frac{3}{2}$$ Soit $x=\frac{3}{2}$, on calcule : $$\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}+\frac{4}{3}\right) = \frac{17}{12}$$
En fixant $x=\frac{3}{2}$ dans l'équation (2) ci-dessus, on obtient : $$\frac{17}{12}<\sqrt{2}<\frac{3}{2}$$ La calculatrice permet de vérifier que $\sqrt{2}$ est entre $1,416666667$ et $1,5$, donc à une distance inférieure à $0.1$.
Le lecteur vérifiera les étapes suivantes :
- On fixe $x=\frac{17}{12}$, on a $$\frac{17}{12}<\sqrt{2}<\frac{577}{408}$$ Cela encadre $\sqrt{2}$ entre $1,416666667$ et $1,414215686$ (approximation au centième).
- En prenant $x=\frac{577}{408}$, on obtient $$\frac{665857}{470832}<\sqrt{2}<\frac{577}{408}$$
La calculatrice permet de vérifier que $\sqrt{2}$ se situe bien entre $1,414215686$ and $1,414213562$. Ces deux valeurs réelles approximent $\sqrt{2}$ à cinq décimales près et ont été obtenue à la main !
Cette façon particulière de déterminer $\sqrt{2}$ remonte à une période de l'histoire vieille de plus de 2000 ans. Bien qu'elle soit efficace, elle ne peut pas se généraliser à la résolution d'équation arbitraire. Elle est cependant à la base des méthodes mathématiques modernes permettant de résoudre des équations.