Analyse numérique

Les méthodes numériques sont des techniques pratiques, souvent programmables sur ordinateur, qui permettent de résoudre de manière approchée des problèmes variés, tels que les équations différentielles ou les calculs d'intégrales. Contrairement aux approches théoriques, elles fournissent des résultats chiffrés accompagnés d'une estimation de leur précision. Les défis posés par l'analyse numérique touchent de nombreuses branches des mathématiques et contribuent continuellement à leur développement. \( \newcommand{\intf}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\into}[2]{\left] #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intfo}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intof}[2]{\left] #1\, ; #2 \right]} \)

Héron d'Alexandrie n'avait pas attendu Newton et le calcul différentiel pour trouver une méthode permettant de déterminer une approximation de la racine carrée d'un nombre positif puisqu'il a vécu seize siècles avant Sir Isaac. Voici comment fonctionne cette méthode :

• Choisir une estimation initiale $u_0$ de la racine carrée du nombre $a$. Cette estimation doit être positive.
• Utiliser la formule de récurrence suivante pour affiner l'estimation : \[ u_{n+1} = \frac{1}{2} \left( u_n + \frac{a}{u_n} \right) \] Ici, \( u_n \) est l'estimation actuelle de la racine carrée, et \( u_{n+1} \) est la nouvelle estimation.
• Répéter le processus itératif jusqu'à ce que la différence entre \( u_n \) et \( u_{n+1} \) soit inférieure à une tolérance prédéfinie, ou jusqu'à ce que le nombre souhaité de décimales soit atteint.

Approximation par Défaut et par Excès :

• Si \( x_n \) est une approximation par défaut (c'est-à-dire \( x_n < \sqrt{a} \)), alors \(\frac{a}{x_n}\) est une approximation par excès (c'est-à-dire \(\frac{a}{x_n} > \sqrt{a}\)).
• Inversement, si \( x_n \) est une approximation par excès, alors \(\frac{a}{x_n}\) est une approximation par défaut.
• Moyenne Arithmétique : la moyenne arithmétique de ces deux approximations, donnée par la formule : \( u_{n+1} = \frac{1}{2} \left( u_n + \frac{a}{u_n} \right) \) fournit une meilleure approximation de \(\sqrt{a}\) que les deux précédentes.

La méthode de Héron repose sur le fait que la moyenne arithmétique d'une approximation par défaut et d'une approximation par excès converge vers la valeur réelle de la racine carrée. Cette approche itérative est simple à mettre en œuvre et converge rapidement, ce qui en fait un outil puissant pour les calculs numériques.

Le réel $\sqrt{2}$ est compris dans l'intervalle $\into{x_0}{\frac{2}{x_0}}=\into{1}{2}$. Pour s'en convaincre, il suffit de vérifier que $1^2<\left(\sqrt{2}\right)^2<2^2$.

On considère la valeur moyenne des bornes de l'intervalle $\into{1}{2}$, soit $\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$. On vérifie aisément que $\frac{3}{2} > \sqrt{2}$ en comparant $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$ avec $\left(\sqrt{2}\right)^2 =2$.

On obtient donc $$1 < \sqrt{2} < \frac{3}{2}$$ Cela situe $\sqrt{2}$ entre $1$ et $1,5$ à $0,5$ près.

On généralise le processus :

• Si $0<x<\sqrt{2}$ alors $\frac{2}{x}>\sqrt{2}$ et $$ x< \sqrt{2}<\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right) \quad [1]$$ Donc $\sqrt{2}$ est situé entre $x$ et $\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)$.
• Par ailleurs, si $\sqrt{2}<x$ alors $\frac{2}{x}<\sqrt{2}$ et $$ \frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)< \sqrt{2}<x \quad [2]$$ Dès lors $\sqrt{2}$ est compris entre $\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)$ et $x$.

En fixant $x=1$ dans l'équation (1) ci-dessus, on obtient : $$1 < \sqrt{2} < \frac{3}{2}$$ Soit $x=\frac{3}{2}$, on calcule : $$\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}+\frac{4}{3}\right) = \frac{17}{12}$$

En fixant $x=\frac{3}{2}$ dans l'équation (2) ci-dessus, on obtient : $$\frac{17}{12}<\sqrt{2}<\frac{3}{2}$$ La calculatrice permet de vérifier que $\sqrt{2}$ est entre $1,416666667$ et $1,5$, donc à une distance inférieure à $0.1$.

Le lecteur vérifiera les étapes suivantes :

• On fixe $x=\frac{17}{12}$, on a $$\frac{17}{12}<\sqrt{2}<\frac{577}{408}$$ Cela encadre $\sqrt{2}$ entre $1,416666667$ et $1,414215686$ (approximation au centième).
• En prenant $x=\frac{577}{408}$, on obtient $$\frac{665857}{470832}<\sqrt{2}<\frac{577}{408}$$

La calculatrice permet de vérifier que $\sqrt{2}$ se situe bien entre $1,414215686$ and $1,414213562$. Ces deux valeurs réelles approximent $\sqrt{2}$ à cinq décimales près et ont été obtenue à la main !

Cette façon particulière de déterminer $\sqrt{2}$ remonte à une période de l'histoire vieille de plus de 2000 ans. Bien qu'elle soit efficace, elle ne peut pas se généraliser à la résolution d'équation arbitraire. Elle est cependant à la base des méthodes mathématiques modernes permettant de résoudre des équations.