Questions de réflexions

Exercice 1 : Parmi tous les prismes droits à base hexagonale régulière, dont la somme des longueurs de toutes les arêtes est égale à 24, déterminez celui qui possède la plus grande aire latérale. Calculez la longueur des arêtes de la base de ce prisme.

Solution

Exercice 2 : Résoudre $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{10}$ avec $ x, y \in \mathbb{N}_0 $.

Solution

on doit trouver des valeurs entières positives pour $x$ et $y$ qui satisfont l'équation $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \dfrac{1}{10}$

on multiplie chaque terme par $10xy$ pour éliminer les dénominateurs : \[ 10y + 10x = xy \]
l'équation devient : \[ xy - 10x - 10y = 0 \]
on ajout 100 aux deux membres : \[ xy - 10x - 10y + 100 = 100 \iff (x-10)(y-10) = 100 \]
on recherche les paires $x-10$ et $y-10$ qui sont des facteurs de 100.
1. les facteurs de 100 sont : \[ 1 \times 100, \quad 2 \times 50, \quad 4 \times 25, \quad 5 \times 20, \quad 10 \times 10 \]
2. pour chaque paire de facteurs, nous pouvons trouver les valeurs correspondantes de $x$ et $y$ :
  1. pour $(x-10, y-10) = (1, 100)$, nous avons $x = 11$ et $y = 110$.
  2. pour $(x-10, y-10) = (2, 50)$, nous avons $x = 12$ et $y = 60$.
  3. pour $(x-10, y-10) = (4, 25)$, nous avons $x = 14$ et $y = 35$.
  4. pour $(x-10, y-10) = (5, 20)$, nous avons $x = 15$ et $y = 30$.
  5. pour $(x-10, y-10) = (10, 10)$, nous avons $x = 20$ et $y = 20$.

Les solutions possibles pour $x$ et $y$ sont donc : \[ (x, y) = (11, 110), (110, 11), (12, 60), (60, 12), (14, 35), (35, 14), (15, 30), (30, 15), (20, 20) \]