Systèmes d'équations - Équations particulières

durée : deux séances de 2 heures
public cible : 5ème math 6h

Etablir les CE, résoudre dans $\mathbb R$ puis vérifier les résultats

Exercice 1 : $\begin{cases} \sqrt{x+ y} = 13 \\ x^2 + y^2 = 21361 \end{cases}$

Solution

Étape 1 : élever la première équation au carré deux fois : \[ x^2 + y^2 + 2xy = 28561 \] Étape 2 : substituer la deuxième équation:

on obtient \[ xy = \frac{7200}{2} = 3600 \]

Étape 3 : Résoudre le système quadratique \[ x + y = 169 \] \[ xy = 3600 \]

via “somme-produit”, il suffit de résoudre : \[ t^2 - 169t + 3600 = 0 \iff t = \frac{169 \pm 119}{2} \]

Les solutions sont :

\[ t = \frac{169 + 119}{2} = \frac{288}{2} = 144 \]

\[ t = \frac{169 - 119}{2} = \frac{50}{2} = 25 \]

deux solutions possibles :

$ (x, y) = (144, 25) $
$ (x, y) = (25, 144) $

Exercice 2 : $\begin{cases} (x + y)^2 + (x - y)^2 = 1378 \\ \sqrt{x \cdot y} = 10 \sqrt{2} \end{cases}$

Solution

$S=\left\{(-25;-8);(-8;-25);(25;8);(8;25);\right\}$

Exercice 3 : $ \begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 12 \\ \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{y^2} = -48 \end{cases} $

Solution

Exercice 4 : en factorisant par la méthode des groupements

$x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0$
$x^4 - 3x^3 - 2x + 6 = 0$
$x^3 - x^2 + x - 1 = 0$
$x^3 - x^2 - x + 1 = 0$

Solution

Exercice 5 : $x + \sqrt{x} = x \cdot \sqrt{x}$

Solution

Exercice 6 : $ \begin{cases} x + y + 1 = 0 \\ x^5 + y^5 +1 = 0 \end{cases} $

Indications : $(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$ et $a^3 \pm b^3 = (a + b)(a^2 \mp ab + b^2)$

Solution

Exercice 7 : $\begin{cases}\sqrt{x - y} = 12 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 8 \end{cases}$

Solution

S = $(169; 25)$

Exercice 8 : $ \sqrt[3]{2 - x} + \sqrt{x - 1} = 1 $

Solution

Posons $\sqrt[3]{2 - x} = u \implies 2 - x = u^3 \implies x = 2 - u^3$ \[ u + \sqrt{2 - u^3 - 1} = 1 \] \[ \sqrt{1 + u^3} = 1 - u \] Élevons au carré des deux côtés : \[ 1 + u^3 = (1 - u)^2 \implies 1 + u^3 = 1 - 2u + u^2 \] \[ u^3 + u^2 - 2u = 0 \] \[ u(u^2 + u - 2) = 0 \] \[ u = 0 \quad \text{ou} \quad u^2 + u - 2 = 0 \] \[ (u + 2)(u - 1) = 0 \] \[ u = -2 \quad \text{ou} \quad u = 1 \] Donc, \[ x = 1, \quad x = 2, \quad \text{et} \quad x = 10 \]

Exercice 9 : $ \sqrt{(1 - x)^3} \geq 1 - 2x $

Solution

Exercice 10 : $ \sqrt[3]{x + 3} + \sqrt[3]{4 - x} = 1 $

Solution

Exercice 11 : $ x^2 + 3x - 7 + \dfrac{6}{\sqrt{x^2 + 3x}} = 0 $

Solution

Exercice 12 : Soit l'équation $||3x - 5| - m| = 2$ où $m \in \mathbb{R}$. Pour quelles valeurs de $m$ cette équation admettra-t-elle 2 solutions ? 4 solutions ? 0 solution ? 1 solution ? 3 solutions ?

Solution

Si $ m \in \left]-\infty, -2\right[ $ : \[ S = \emptyset \]
Si $ m = -2 $ : \[ S = \left\{ \left(\frac{5}{3}\right) \right\} \]
Si $ m \in \left]-2, 2\right[ $ : \[ S = \left\{ \left(\frac{3 - m}{3} ; \frac{7 + m}{3} \right) \right\} \]
Si $ m = 2 $ : \[ S = \left\{ \left(\frac{1}{3} ; \frac{5}{3} \right) \right\} \]
Si $ m \in \left]2, +\infty\right[ $ : \[ S = \left\{ \left(\frac{3 - m}{3} ; \frac{3 + m}{3} ; \frac{7 - m}{3} ; \frac{7 + m}{3} \right) \right\} \]

Exercice 13 : $ (1 - x)\sqrt{5 + x} < (1 + x)\sqrt{5 - x} $

Solution

Exercice 14 : $ \sqrt{5 + x} + \sqrt{5 - x} = x $

Solution

Exercice 15 : $ \sqrt{x + 4} + \sqrt{x} = 2\sqrt{x - 2} $

Solution

Exercice 16 : $ \frac{1}{x(x - 1)} \leq \frac{1}{\sqrt{x(x + 9)}} $

Solution

Exercice 17 : Dans $\mathbb{R}$, résoudre l’inéquation $\frac{1}{1 + \sqrt{|x - 1|}} < x.$

Solution

Le membre de gauche étant strictement positif, celui de droite doit l’être aussi et on a $x > 0$. Dans $\mathbb{R}^+_0$, on peut récrire l’inéquation en

$\sqrt{|x - 1|} \geq \frac{1}{x} - 1.$

Si $x > 1$, le second membre est strictement négatif et l’inéquation est vérifiée.
Si $x = 1$, l’inégalité se réduit à $0 > 0$ et n’est pas vérifiée.
Si $0 < x < 1$, elle se récrit successivement en

\begin{align} |x - 1| > \left( \frac{1}{x} - 1 \right)^2 &\iff 1 - x > \left( \frac{1}{x} - 1 \right)^2 \\ &\iff -x > \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} \\ &\iff x < -\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} \\ &\iff x^3 < -1 + 2x \\ &\iff x^3 - 2x + 1 < 0 \\ &\iff (x - 1)(x^2 + x - 1) < 0 \\ &\iff x^2 + x - 1 > 0 \end{align}

Les racines du trinôme sont $(-1 \pm \sqrt{5})/2$ et l’inégalité est vérifiée à l’extérieur des racines.

En conclusion, l’ensemble des solutions est $\left] -1 + \frac{\sqrt{5}}{2}, 1 \right[ \cup \left] 1 : +\infty \right[$.