pesam:5eme_renf_math:systemes_et_equations_particulieres

Systèmes d'équations - Équations particulières

  • durée : deux séances de 2 heures
  • public cible : 5ème math 6h

Etablir les CE, résoudre dans R puis vérifier les résultats

Exercice 1 : {x+y=13x2+y2=21361


Solution

Solution

Étape 1 : élever la première équation au carré deux fois : x2+y2+2xy=28561 Étape 2 : substituer la deuxième équation:

on obtient xy=72002=3600

Étape 3 : Résoudre le système quadratique x+y=169 xy=3600

via “somme-produit”, il suffit de résoudre : t2169t+3600=0t=169±1192

Les solutions sont :

t=169+1192=2882=144

t=1691192=502=25

deux solutions possibles :

  1. (x,y)=(144,25)
  2. (x,y)=(25,144)

Exercice 2 : {(x+y)2+(xy)2=1378xy=102


Solution

Solution

S={(25;8);(8;25);(25;8);(8;25);}

Exercice 3 : {1x+1y=121x21y2=48


Solution

Solution

Exercice 4 : en factorisant par la méthode des groupements

  1. x32x29x+18=0
  2. x43x32x+6=0
  3. x3x2+x1=0
  4. x3x2x+1=0


Solution

Solution

Exercice 5 : x+x=xx


Solution

Solution

Exercice 6 : {x+y+1=0x5+y5+1=0

Indications : (a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 et a3±b3=(a+b)(a2ab+b2)


Solution

Solution

Exercice 7 : {xy=12xy=8


Solution

Solution

S = (169;25)

Exercice 8 : 32x+x1=1


Solution

Solution

Posons 32x=u2x=u3x=2u3 u+2u31=1 1+u3=1u Élevons au carré des deux côtés : 1+u3=(1u)21+u3=12u+u2 u3+u22u=0 u(u2+u2)=0 u=0ouu2+u2=0 (u+2)(u1)=0 u=2ouu=1 Donc, x=1,x=2,etx=10

Exercice 9 : (1x)312x


Solution

Solution

Exercice 10 : 3x+3+34x=1


Solution

Solution

Exercice 11 : x2+3x7+6x2+3x=0


Solution

Solution

Exercice 12 : Soit l'équation ||3x5|m|=2mR. Pour quelles valeurs de m cette équation admettra-t-elle 2 solutions ? 4 solutions ? 0 solution ? 1 solution ? 3 solutions ?


Solution

Solution

  1. Si m],2[ : S=
  2. Si m=2 : S={(53)}
  3. Si m]2,2[ : S={(3m3;7+m3)}
  4. Si m=2 : S={(13;53)}
  5. Si m]2,+[ : S={(3m3;3+m3;7m3;7+m3)}

Exercice 13 : (1x)5+x<(1+x)5x


Solution

Solution

Exercice 14 : 5+x+5x=x


Solution

Solution

Exercice 15 : x+4+x=2x2


Solution

Solution

Exercice 16 : 1x(x1)1x(x+9)


Solution

Solution

Exercice 17 : Dans R, résoudre l’inéquation 11+|x1|<x.


Solution

Solution

Le membre de gauche étant strictement positif, celui de droite doit l’être aussi et on a x>0. Dans R+0, on peut récrire l’inéquation en

|x1|1x1.

  • Si x>1, le second membre est strictement négatif et l’inéquation est vérifiée.
  • Si x=1, l’inégalité se réduit à 0>0 et n’est pas vérifiée.
  • Si 0<x<1, elle se récrit successivement en

|x1|>(1x1)21x>(1x1)2x>1x22xx<1x2+2xx3<1+2xx32x+1<0(x1)(x2+x1)<0x2+x1>0

Les racines du trinôme sont (1±5)/2 et l’inégalité est vérifiée à l’extérieur des racines.

En conclusion, l’ensemble des solutions est ]1+52,1[]1:+[.

  • pesam/5eme_renf_math/systemes_et_equations_particulieres.txt
  • Dernière modification : 2025/03/01 16:28
  • de Frédéric Lancereau