Ensemble des solutions : \(\text{S} = \left\lbrace 3-i, \frac{-1+i}{3}, \frac{-2-4i}{5}, \frac{2+6i}{5}\right\rbrace\)

note : \(w^4=1 \iff w=\pm 1,\pm i\)

Posons \[ w = x + \vert z \vert + \mathbb{i} y. \]

Remarquons que la partie réelle de \( w \) est \[ \text{Re}(w) = x + \vert z \vert. \]

Comme \( \vert z \vert = \sqrt{x^2 + y^2} \geq |x| \), on a :

1. Si \( x \geq 0 \), alors \( x + \vert z \vert \geq x + x = 2x \geq 0 \).
2. Si \( x \leq 0 \), alors \( x + \vert z \vert \geq x + (-x) = 0 \).

De plus, si \( x = -\vert z \vert \) et \( y = 0 \), alors \( z \in \mathbb{R}^- \), ce qui est exclu par hypothèse. Ainsi, on a toujours \( \text{Re}(w) > 0 \).

Étant donné que \( \text{Re}(w) > 0 \), on peut écrire : \[ \arg(w) = \arctan\left(\dfrac{\text{Im}(w)}{\text{Re}(w)}\right) = \arctan\left(\dfrac{y}{x + \vert z \vert}\right). \]

Calculons \( w^2 \) pour établir une relation avec \( z \) : \begin{align*} w^2 &= (x + \vert z \vert + \mathbb{i} y)^2 \\ &= (x + \vert z \vert)^2 - y^2 + 2 \mathbb{i} y (x + \vert z \vert)\\ &= 2(x + \vert z \vert)(x + \mathbb{i} y) \\ &= 2(x + \vert z \vert) z. \end{align*}

Puisque \( w^2 = 2(x + \vert z \vert) z \) et que \( 2(x + \vert z \vert) > 0 \) (car \( x + \vert z \vert > 0 \)), l'argument de \( w^2 \) est égal à l'argument de \( z \) : \[ \arg(w^2) = \arg\left(2(x + \vert z \vert) z\right) = \arg(z). \]

De plus, sachant que pour tout nombre complexe \( w \) : \[ \arg(w^2) = 2 \arg(w) \ (\text{mod } 2\pi). \]

On a donc : \[ \arg(z) = 2 \arg(w) = 2 \arctan\left(\dfrac{y}{x + \vert z \vert}\right) \]