Calcul intégral avancé

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Exercice 1 : Que vaut $c$ ?

Solution :

\begin{align*} c = \frac{1}{\pi - \arcsin \left(c\right)} \int_0^{\pi - \arcsin \left(c\right)} \sin(t) \, dt &\iff c \left(\pi - \arcsin \left(c\right)\right) = \int_0^{\pi - \arcsin \left(c\right)} \sin(t) \, dt \\ &\iff c \left(\pi - \arcsin \left(c\right)\right) = -\cos(t) \, \Bigg|_0^{\pi - \arcsin(c)} \\ &\iff c \left(\pi - \arcsin \left(c\right)\right) = -\cos(\pi - \arcsin(c)) - (-\cos(0)) \end{align*}

En simplifiant le membre de droite , nous obtenons :

\[ -\cos(\pi - \arcsin(c)) + 1 \]

Sachant que $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$, nous avons :

\[ -\left(-\cos(\arcsin(c))\right) + 1 = \cos(\arcsin(c)) + 1 \]

Puisque $\cos(\arcsin(c)) = \sqrt{1 - c^2}$ pour $c$ dans l'intervalle $[-1, 1]$, l'expression devient :

\[ \sqrt{1 - c^2} + 1 \]

Ainsi, l'équation principale devient : \[c \left(\pi - \arcsin \left(c\right)\right) = \sqrt{1 - c^2} + 1\]

C'est l'étape la plus complexe car l'équation n'est pas linéaire en $ c $. Nous devons résoudre cette équation numériquement, car elle ne se prête pas à une solution algébrique simple.

Note : On trouve graphiquement $c\approx 0,7246$ via geogebra.

figure

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xmin=-1,
xmax=4,
ymin=-.5,
ymax=1.5,
axis y line=center,
axis x line=center,
xtick={0,3.14},xticklabels={$0$,$\pi$},
ytick={0.72461,1},yticklabels={$\color{black}{c}$,$1$},
samples=160,
y=2cm/1,
x=1.6cm/1,
%grid=both,
compat=newest
]
\addplot[name path=poly,black,thick,mark=none,domain=0:2.3311243348057932,stack plots=y] {fct};
\addplot[name path=line,gray,no markers,line width=.5pt,dashed,domain=0:2.3311243348057932,color=black] {0.72461};
\addplot fill between[
of = poly and line,
split, % calculate segments
every even segment/.style={pattern=north west lines, pattern color=darkgray},
every odd segment/.style={pattern=north west lines, pattern color=darkgray}
];
\addplot[domain=0:pi] {fct} node[pos=1,label={[label distance=26pt]above:{$y=\sin(x)$}}] {} ;
%\draw[help lines] (axis cs:0,1) -- (axis cs:pi/2,1);
\draw[help lines] (axis cs:2.3311243348057932,0) -- (axis cs:2.3311243348057932,0.72461);
\end{axis}
\end{tikzpicture}

Exercice 2 : Soit $f'(x) = \frac{\cos x}{x}$, $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = a \in \mathbb{R}$ et $f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = b \in \mathbb{R}$. Exprimer l'intégrale définie suivante en fonction des réels $a$ et $b$ \[\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} f(x) \; \text{d}x\]

Solution :

\[\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} f(x) \; \text{d}x = \frac{\pi}{2}\left(3b-a\right)+2\]

Considérons la fonction $ F(x) = \int_{a}^{u(x)} f(t) \, dt $, où $ a\in\mathbb{R} $, $ u(x) $ est une fonction dérivable et $ f $ est continue.

Pour trouver la dérivée de $ F(x) $, nous appliquons la dérivation d'une composition de fonctions. Si $ F(x) = g(u(x)) $, alors $ F'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x) $.

Ici, $ g(u) = \int_{a}^{u} f(t) \, dt $. Par le théorème fondamental du calcul, nous savons que $ g'(u) = f(u) $.

Donc, en appliquant la règle de dérivation en chaîne, nous obtenons :\[ F'(x) = \left[ \int_{a}^{u(x)} f(t) \, dt \right]' = f(u(x)) \cdot u'(x) \] note : il ne faut pas confondre la variable d’intégration, notée ici $t$, et la variable $x$ de la fonction $F$.

Lorsqu'on ne peut pas calculer facilement une fonction $ F(x) $, il est important de bien comprendre deux types de fonctions définies par des intégrales. D'un côté, il y a les fonctions comme $ F(x) = \int_{a}^{u(x)} f(t) \, dt $, où $ u(x) $ dépend de $ x $. De l'autre, il y a les intégrales impropres, qui impliquent des limites infinies ou des points de discontinuité. Pour bien travailler avec ces fonctions, il faut commencer par déterminer pour quelles valeurs de $ x $ l'intégrale est définie, c'est-à-dire son domaine de définition. Cela va assurer que l'intégrale existe et a une valeur finie.

À connaitre

Soit $a\in\mathbb{R}$ et $u$ une fonction dérivable : \[ \displaystyle \left[ \int_{a}^{u(x)}{f(t)}\;\mathrm{d}{t} \right]^{\prime} = f(u(x))\cdot u'(x)\] En particulier : Si $ u(x) = x $, alors $ u'(x) = 1 $. Par conséquent, la dérivée de $ \int_{a}^{x} f(t) \, dt $ est simplement $ f(x) $ : \[ \left[ \int_{a}^{x} f(t) \, dt \right]' = f(x) \]

Exemple

\begin{align*} \frac{d}{du} \int\limits_{-u}^u \arctan\left(\frac{1}{x}\right) dx &= \frac{d}{du} \left(\,\int\limits_{-u}^0 \arctan\left(\frac{1}{x}\right) dx + \int\limits_{0}^u \arctan\left(\frac{1}{x}\right) dx \right) \\ &= \frac{d}{du} \left(-\int\limits_{0}^{-u} \arctan\left(\frac{1}{x}\right) dx + \int\limits_{0}^u \arctan\left(\frac{1}{x}\right) dx \right) \\ &= -\arctan\left(-\frac{1}{u}\right)\cdot(-1) + \arctan\left(\frac{1}{u}\right)\\ &= \arctan\left(-\frac{1}{u}\right) + \arctan\left(\frac{1}{u}\right) \\ &= 0 \end{align*}

Exercice 3 : Trouver $f(4)$ si \[\int_{0}^{x^2} f(t) \, dt = x \cos \pi x\]

solution

\begin{align*} \int_{0}^{x^2} f(t) \, dt = x \cos \pi x &\implies \frac{d}{dx} \int_{0}^{x^2} f(t) \, dt = \cos \pi x - \pi x \sin \pi x \\ &\iff f(x^2)(2x) = \cos \pi x - \pi x \sin \pi x \\ &\iff f(x^2) = \frac{\cos \pi x - \pi x \sin \pi x}{2x} \\ x = 2 &\implies f(4) = \frac{1}{4} \end{align*}

Exercice 4 : Rechercher $a, b \in \mathbb R$ vérifiant $\displaystyle \int_1^x (x-t)\cdot f(t) \; \mathrm{d}t = x^3+ax+b$ :

Aide

\[\begin{aligned}\left[ \int_1^x (x-t)\cdot f(t) \; \mathrm{d}t \right]^{\prime} &= \left[\int_1^x x\cdot f(t) \; \mathrm{d}t - \int_1^x t \cdot f(t) \; \mathrm{d}t \right]^{\prime} \\ &= \left[x\cdot \int_1^x f(t) \; \mathrm{d}t \right]^{\prime}- \left[\int_1^x t \cdot f(t) \; \mathrm{d}t \right]^{\prime}\\&= \left[x\right]^{\prime}\cdot \int_1^x f(t) \; \mathrm{d}t + x\cdot \left[ \int_1^x f(t) \; \mathrm{d}t \right]^{\prime} - \left[\int_1^x t \cdot f(t) \; \mathrm{d}t \right]^{\prime}\\ &= \int_1^x f(t) \; \mathrm{d}t +x\cdot f(x) -x\cdot f(x) \\ &= \int_1^x f(t) \; \mathrm{d}t\end{aligned}\]

Calcul intégral avancé

Moyenne et calcul d'aire

Intégration par partie

Dérivée d'une fonction définie par une intégrale